Номер 1080, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1080, страница 215.

Условие.

1080. Разложите на множители:

a) $x^5 + 4a^2x^3 - 4ax^4$;

б) $4a^6 - 12a^5b + 9a^4b^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^5 + 4a^2x^3 - 4ax^4$, сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель для всех членов многочлена. Общим множителем здесь является $x^3$.
Вынесем $x^3$ за скобки:
$x^5 + 4a^2x^3 - 4ax^4 = x^3(x^2 + 4a^2 - 4ax)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 + 4a^2 - 4ax$. Переставим слагаемые для удобства: $x^2 - 4ax + 4a^2$.
Это выражение является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
В нашем случае $p=x$ и $q=2a$. Проверим:
$(x - 2a)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (2a) + (2a)^2 = x^2 - 4ax + 4a^2$.
Выражение совпадает с тем, что в скобках.
Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так: $x^3(x - 2a)^2$.
Ответ: $x^3(x-2a)^2$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $4a^6 - 12a^5b + 9a^4b^2$, также начнем с вынесения общего множителя за скобки. Общим множителем для всех членов является $a^4$.
Вынесем $a^4$ за скобки:
$4a^6 - 12a^5b + 9a^4b^2 = a^4(4a^2 - 12ab + 9b^2)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $4a^2 - 12ab + 9b^2$.
Это выражение также является полным квадратом разности и соответствует формуле $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
Определим $p$ и $q$. Здесь $p^2 = 4a^2 = (2a)^2$, значит $p=2a$. А $q^2 = 9b^2 = (3b)^2$, значит $q=3b$.
Проверим удвоенное произведение: $2pq = 2 \cdot (2a) \cdot (3b) = 12ab$. Знак "минус" перед ним соответствует формуле.
Следовательно, выражение в скобках можно свернуть в $(2a - 3b)^2$.
В итоге получаем: $a^4(2a - 3b)^2$.
Ответ: $a^4(2a-3b)^2$.