Номер 1081, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1081, страница 215.

Условие.

1081. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой $y = x^2 - 4x + 5$, расположены в верхней полуплоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что все точки графика функции $y = x^2 - 4x + 5$ расположены в верхней полуплоскости, необходимо показать, что для любого действительного значения аргумента $x$ значение функции $y$ является положительным, то есть $y > 0$.

Рассмотрим данную квадратичную функцию. Один из способов доказательства — найти её наименьшее значение. Если наименьшее значение функции больше нуля, то и все остальные её значения будут больше нуля.

Преобразуем выражение $x^2 - 4x + 5$ методом выделения полного квадрата. Для этого представим $x^2 - 4x$ как часть квадрата разности $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$. В нашем случае $2a = 4$, значит $a=2$.

$y = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 5$

Чтобы получить полный квадрат $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$, представим число 5 как сумму $4+1$:

$y = (x^2 - 4x + 4) + 1$

Теперь выражение в скобках является полным квадратом:

$y = (x - 2)^2 + 1$

Проанализируем полученное выражение. Слагаемое $(x - 2)^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(x - 2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0 и достигается при $x = 2$.

Следовательно, наименьшее значение всей функции $y$ равно $0 + 1 = 1$.

Итак, мы получили, что для любого значения $x$ выполняется неравенство $y \ge 1$. Так как $1 > 0$, то и $y > 0$ для всех $x$.

Поскольку ордината ($y$) любой точки графика функции всегда положительна, все точки графика расположены выше оси абсцисс ($Ox$), то есть в верхней полуплоскости. Что и требовалось доказать.

Другой способ — проанализировать свойства параболы. Графиком функции $y = ax^2+bx+c$ является парабола. В нашем случае $y = x^2 - 4x + 5$, где $a=1$, $b=-4$, $c=5$. Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если такая парабола не пересекает ось $Ox$, то она целиком лежит над ней. Отсутствие точек пересечения с осью $Ox$ означает, что уравнение $x^2 - 4x + 5 = 0$ не имеет действительных корней. Это можно проверить с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и график функции не пересекает ось $Ox$. Так как ветви параболы направлены вверх, весь график находится в верхней полуплоскости.

Ответ: Доказательство приведено. Наименьшее значение функции равно 1, которое больше 0, следовательно, все точки графика функции расположены в верхней полуплоскости.