Номер 1079, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1079, страница 215.

Условие.

1079. Упростите выражение:

а) $(2x - 3y)^2 + (2x + 3y)^2$;

б) $(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$;

в) $2\left(\frac{x}{2} + \frac{y}{4}\right)^2 + (2x - y)^2$;

г) $3\left(\frac{x}{3} + \frac{y}{9}\right)^2 - (3x - y)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $(2x - 3y)^2 + (2x + 3y)^2$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадратом суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем каждую скобку:
$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$
$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$
Теперь сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 12xy + 9y^2) + (4x^2 + 12xy + 9y^2) = 4x^2 + 4x^2 - 12xy + 12xy + 9y^2 + 9y^2 = 8x^2 + 18y^2$
Ответ: $8x^2 + 18y^2$

б) Для упрощения выражения $(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$ также используем формулы квадрата суммы и квадрата разности.
Раскроем скобки, используя результаты из предыдущего пункта:
$(2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$
$(2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$
Теперь выполним вычитание. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых в ней на противоположные:
$(4x^2 + 12xy + 9y^2) - (4x^2 - 12xy + 9y^2) = 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x^2 + 12xy - 9y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4x^2) + (12xy + 12xy) + (9y^2 - 9y^2) = 24xy$
Ответ: $24xy$

в) Упростим выражение $2(\frac{x}{2} + \frac{y}{4})^2 + (2x - y)^2$.
Сначала раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы и умножим результат на 2:
$2\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{4} + \left(\frac{y}{4}\right)^2\right) = 2\left(\frac{x^2}{4} + \frac{2xy}{8} + \frac{y^2}{16}\right) = 2\left(\frac{x^2}{4} + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{16}\right) = \frac{2x^2}{4} + \frac{2xy}{4} + \frac{2y^2}{16} = \frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8}$
Теперь раскроем вторую скобку по формуле квадрата разности:
$(2x - y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$
Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$\left(\frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8}\right) + (4x^2 - 4xy + y^2) = \left(\frac{x^2}{2} + 4x^2\right) + \left(\frac{xy}{2} - 4xy\right) + \left(\frac{y^2}{8} + y^2\right)$
$= \left(\frac{x^2}{2} + \frac{8x^2}{2}\right) + \left(\frac{xy}{2} - \frac{8xy}{2}\right) + \left(\frac{y^2}{8} + \frac{8y^2}{8}\right) = \frac{9x^2}{2} - \frac{7xy}{2} + \frac{9y^2}{8}$
Ответ: $\frac{9x^2}{2} - \frac{7xy}{2} + \frac{9y^2}{8}$

г) Упростим выражение $3(\frac{x}{3} + \frac{y}{9})^2 - (3x - y)^2$.
Сначала преобразуем первое слагаемое. Раскроем скобку по формуле квадрата суммы и умножим на 3:
$3\left(\left(\frac{x}{3}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{y}{9} + \left(\frac{y}{9}\right)^2\right) = 3\left(\frac{x^2}{9} + \frac{2xy}{27} + \frac{y^2}{81}\right) = \frac{3x^2}{9} + \frac{6xy}{27} + \frac{3y^2}{81} = \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27}$
Теперь раскроем вторую скобку по формуле квадрата разности:
$(3x - y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$
Вычтем второе выражение из первого:
$\left(\frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27}\right) - (9x^2 - 6xy + y^2) = \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27} - 9x^2 + 6xy - y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$\left(\frac{x^2}{3} - 9x^2\right) + \left(\frac{2xy}{9} + 6xy\right) + \left(\frac{y^2}{27} - y^2\right) = \left(\frac{x^2}{3} - \frac{27x^2}{3}\right) + \left(\frac{2xy}{9} + \frac{54xy}{9}\right) + \left(\frac{y^2}{27} - \frac{27y^2}{27}\right) = -\frac{26x^2}{3} + \frac{56xy}{9} - \frac{26y^2}{27}$
Ответ: $-\frac{26x^2}{3} + \frac{56xy}{9} - \frac{26y^2}{27}$