Номер 1087, страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1087, страница 218.

Условие.

1087. Составьте уравнение вида $y = kx + b$, график которого проходит через точки:

а) $M(5; 5)$ и $N(-10; -19)$;

б) $P(4; 1)$ и $Q(3; -5)$;

в) $A(8; -1)$ и $B(-4; 17)$;

г) $C(-19; 31)$ и $D(1; -9)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для составления уравнения прямой вида $y = kx + b$, проходящей через две заданные точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, необходимо найти коэффициенты $k$ и $b$. Для этого можно составить и решить систему двух линейных уравнений:

$\begin{cases} y_1 = kx_1 + b \\ y_2 = kx_2 + b \end{cases}$

Угловой коэффициент $k$ можно найти по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. После нахождения $k$, коэффициент $b$ можно найти, подставив $k$ и координаты одной из точек в уравнение прямой: $b = y_1 - kx_1$.

а)

Даны точки $M(5; 5)$ и $N(-10; -19)$.

Подставим координаты точек в уравнение $y = kx + b$:

$\begin{cases} 5 = k \cdot 5 + b \\ -19 = k \cdot (-10) + b \end{cases}$

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \frac{-19 - 5}{-10 - 5} = \frac{-24}{-15} = \frac{8}{5}$

Теперь найдем $b$, подставив $k$ и координаты точки $M(5; 5)$ в уравнение:

$b = y - kx = 5 - \frac{8}{5} \cdot 5 = 5 - 8 = -3$

Искомое уравнение прямой:

Ответ: $y = \frac{8}{5}x - 3$

б)

Даны точки $P(4; 1)$ и $Q(3; -5)$.

Подставим координаты точек в уравнение $y = kx + b$:

$\begin{cases} 1 = k \cdot 4 + b \\ -5 = k \cdot 3 + b \end{cases}$

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \frac{-5 - 1}{3 - 4} = \frac{-6}{-1} = 6$

Теперь найдем $b$, подставив $k$ и координаты точки $P(4; 1)$ в уравнение:

$b = y - kx = 1 - 6 \cdot 4 = 1 - 24 = -23$

Искомое уравнение прямой:

Ответ: $y = 6x - 23$

в)

Даны точки $A(8; -1)$ и $B(-4; 17)$.

Подставим координаты точек в уравнение $y = kx + b$:

$\begin{cases} -1 = k \cdot 8 + b \\ 17 = k \cdot (-4) + b \end{cases}$

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \frac{17 - (-1)}{-4 - 8} = \frac{18}{-12} = -\frac{3}{2}$

Теперь найдем $b$, подставив $k$ и координаты точки $A(8; -1)$ в уравнение:

$b = y - kx = -1 - (-\frac{3}{2}) \cdot 8 = -1 - (-12) = -1 + 12 = 11$

Искомое уравнение прямой:

Ответ: $y = -\frac{3}{2}x + 11$

г)

Даны точки $C(-19; 31)$ и $D(1; -9)$.

Подставим координаты точек в уравнение $y = kx + b$:

$\begin{cases} 31 = k \cdot (-19) + b \\ -9 = k \cdot 1 + b \end{cases}$

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \frac{-9 - 31}{1 - (-19)} = \frac{-40}{20} = -2$

Теперь найдем $b$, подставив $k$ и координаты точки $D(1; -9)$ в уравнение:

$b = y - kx = -9 - (-2) \cdot 1 = -9 + 2 = -7$

Искомое уравнение прямой:

Ответ: $y = -2x - 7$