Номер 1093, страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1093, страница 218.

Условие.

1093. Найдите решение системы уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y - 2 = 0, \\ 5x - y = 11; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0.5x + 0.2y = 7, \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{10}y = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n = 0, \\ 5m - 4n = 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{1}{6}u - \frac{1}{3}v = -3, \\ 0.2u + 0.1v = 3.9. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y - 2 = 0 \\ 5x - y = 11 \end{cases} $

Сначала преобразуем первое уравнение. Перенесем свободный член в правую часть и умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12, чтобы избавиться от дробей:

$ \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = 2 $

$ 12 \cdot (\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y) = 12 \cdot 2 $

$ 4x + 3y = 24 $

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} 4x + 3y = 24 \\ 5x - y = 11 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$ -y = 11 - 5x $

$ y = 5x - 11 $

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение:

$ 4x + 3(5x - 11) = 24 $

$ 4x + 15x - 33 = 24 $

$ 19x = 24 + 33 $

$ 19x = 57 $

$ x = \frac{57}{19} $

$ x = 3 $

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 3$ в выражение $y = 5x - 11$:

$ y = 5(3) - 11 $

$ y = 15 - 11 $

$ y = 4 $

Ответ: $(3; 4)$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 0,5x + 0,2y = 7 \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{10}y = 0 \end{cases} $

Упростим оба уравнения, чтобы избавиться от дробей. Умножим первое уравнение на 10, а второе на 30 (наименьшее общее кратное для 3 и 10).

Первое уравнение:

$ 10 \cdot (0,5x + 0,2y) = 10 \cdot 7 $

$ 5x + 2y = 70 $

Второе уравнение:

$ 30 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{10}y) = 30 \cdot 0 $

$ 10x - 3y = 0 $

Получаем систему:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 70 \\ 10x - 3y = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $10x$:

$ 10x = 3y \implies x = \frac{3}{10}y $

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ 5(\frac{3}{10}y) + 2y = 70 $

$ \frac{15}{10}y + 2y = 70 $

$ 1,5y + 2y = 70 $

$ 3,5y = 70 $

$ y = \frac{70}{3,5} $

$ y = 20 $

Теперь найдем $x$, подставив $y = 20$ в выражение $x = \frac{3}{10}y$:

$ x = \frac{3}{10} \cdot 20 $

$ x = 6 $

Ответ: $(6; 20)$.

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n = 0 \\ 5m - 4n = 2 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 30 (наименьшее общее кратное для 5 и 6), чтобы избавиться от дробей:

$ 30 \cdot (\frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n) = 30 \cdot 0 $

$ 6m - 5n = 0 $

Получаем систему:

$ \begin{cases} 6m - 5n = 0 \\ 5m - 4n = 2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $m$ через $n$:

$ 6m = 5n \implies m = \frac{5}{6}n $

Подставим это выражение во второе уравнение:

$ 5(\frac{5}{6}n) - 4n = 2 $

$ \frac{25}{6}n - 4n = 2 $

Умножим обе части уравнения на 6:

$ 25n - 24n = 12 $

$ n = 12 $

Теперь найдем $m$, подставив $n = 12$ в выражение $m = \frac{5}{6}n$:

$ m = \frac{5}{6} \cdot 12 $

$ m = 5 \cdot 2 $

$ m = 10 $

Ответ: $(10; 12)$.

г) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{6}u - \frac{1}{3}v = -3 \\ 0,2u + 0,1v = 3,9 \end{cases} $

Упростим оба уравнения. Первое уравнение умножим на 6, второе - на 10.

Первое уравнение:

$ 6 \cdot (\frac{1}{6}u - \frac{1}{3}v) = 6 \cdot (-3) $

$ u - 2v = -18 $

Второе уравнение:

$ 10 \cdot (0,2u + 0,1v) = 10 \cdot 3,9 $

$ 2u + v = 39 $

Получаем систему:

$ \begin{cases} u - 2v = -18 \\ 2u + v = 39 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $v$:

$ v = 39 - 2u $

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ u - 2(39 - 2u) = -18 $

$ u - 78 + 4u = -18 $

$ 5u = -18 + 78 $

$ 5u = 60 $

$ u = \frac{60}{5} $

$ u = 12 $

Теперь найдем $v$, подставив $u = 12$ в выражение $v = 39 - 2u$:

$ v = 39 - 2(12) $

$ v = 39 - 24 $

$ v = 15 $

Ответ: $(12; 15)$.