Номер 1096, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1096, страница 219.

Условие.

1096. Имеет ли решения система и сколько:

a) $$\begin{cases} 2x - y = 1, \\ -6x + 3y = 2; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} -5x + 2y = 7, \\ 15x - 6y = -21 \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ -6x + 3y = 2. \end{cases} $

Для того чтобы определить, имеет ли система решения и сколько, можно использовать несколько методов.

Метод 1: Сравнение коэффициентов.

Для системы вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ количество решений зависит от соотношения коэффициентов:

• Система не имеет решений, если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ (графики — параллельные прямые).
• Система имеет бесконечно много решений, если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $ (графики — совпадающие прямые).
• Система имеет одно решение, если $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ (графики — пересекающиеся прямые).

В нашем случае коэффициенты равны: $ a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 1 $ и $ a_2 = -6, b_2 = 3, c_2 = 2 $.

Вычислим их отношения:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2} $

Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $, система уравнений не имеет решений.

Метод 2: Метод подстановки.

Выразим $ y $ из первого уравнения:

$ 2x - y = 1 \Rightarrow y = 2x - 1 $

Подставим полученное выражение для $ y $ во второе уравнение:

$ -6x + 3(2x - 1) = 2 $

Раскроем скобки и упростим:

$ -6x + 6x - 3 = 2 $

$ 0 \cdot x - 3 = 2 $

$ -3 = 2 $

Мы получили неверное равенство, которое не зависит от $ x $. Это означает, что не существует таких значений $ x $ и $ y $, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям одновременно. Следовательно, система несовместна.

Ответ: система не имеет решений.

б)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} -5x + 2y = 7, \\ 15x - 6y = -21. \end{cases} $

Метод 1: Сравнение коэффициентов.

Коэффициенты системы: $ a_1 = -5, b_1 = 2, c_1 = 7 $ и $ a_2 = 15, b_2 = -6, c_2 = -21 $.

Вычислим их отношения:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{-21} = -\frac{1}{3} $

Поскольку все три отношения равны: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, система имеет бесконечное множество решений. Графики этих уравнений представляют собой одну и ту же прямую.

Метод 2: Метод алгебраического сложения.

Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $ x $ и $ y $ стали противоположными коэффициентам второго уравнения:

$ 3 \cdot (-5x + 2y) = 3 \cdot 7 $

$ -15x + 6y = 21 $

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} -15x + 6y = 21, \\ 15x - 6y = -21. \end{cases} $

Сложим левые и правые части уравнений:

$ (-15x + 6y) + (15x - 6y) = 21 + (-21) $

$ 0x + 0y = 0 $

$ 0 = 0 $

Мы получили верное тождество $ 0 = 0 $. Это означает, что уравнения в системе являются зависимыми (одно можно получить из другого). Следовательно, любая пара чисел $ (x, y) $, являющаяся решением одного уравнения, будет также решением и второго. Таким образом, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.