Страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1190. Докажите, что сумма $1^3 + 2^3 + \dots + 99^3$ делится на 100.

Для доказательства того, что сумма $S = 1^3 + 2^3 + ... + 99^3$ делится на 100, можно привести два рассуждения.

Способ 1: Использование формулы суммы кубов.

Воспользуемся известной формулой для суммы кубов первых $n$ натуральных чисел:

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

В нашей задаче верхний предел суммирования $n = 99$. Подставим это значение в формулу для вычисления суммы $S$:

$S = \left(\frac{99(99+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{99 \cdot 100}{2}\right)^2$

Выполним вычисление в скобках:

$S = (99 \cdot 50)^2$

Теперь возведем в квадрат:

$S = 99^2 \cdot 50^2 = 99^2 \cdot 2500$

Чтобы доказать, что сумма $S$ делится на 100, достаточно показать, что она является произведением некоторого целого числа на 100. Представим число 2500 как $25 \cdot 100$:

$S = 99^2 \cdot (25 \cdot 100) = (99^2 \cdot 25) \cdot 100$

Поскольку $99^2 \cdot 25$ является целым числом, то сумма $S$ кратна 100, а значит, делится на 100 без остатка. Что и требовалось доказать.

Способ 2: Группировка слагаемых.

Этот метод не требует знания формулы суммы кубов. Сгруппируем слагаемые в сумме $S$ парами: первое с последним, второе с предпоследним и так далее.

Вспомним формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Рассмотрим общую пару слагаемых вида $k^3$ и $(100-k)^3$. Их сумма равна:

$k^3 + (100-k)^3 = (k + (100-k))(k^2 - k(100-k) + (100-k)^2) = 100 \cdot (k^2 - 100k + k^2 + (100-k)^2)$

Очевидно, что эта сумма делится на 100 для любого целого $k$.

В нашей сумме $S = 1^3 + 2^3 + ... + 99^3$ всего 99 слагаемых. Мы можем составить 49 таких пар:

$(1^3 + 99^3)$, $(2^3 + 98^3)$, ..., $(49^3 + 51^3)$

Сумма каждой из этих пар делится на 100, а значит, и сумма всех 49 пар также делится на 100.

Поскольку общее количество слагаемых нечетно (99), в центре ряда остается одно слагаемое, которое не вошло в пары. Это слагаемое $50^3$.

Таким образом, всю сумму $S$ можно представить как:

$S = \underbrace{(1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + ... + (49^3 + 51^3)}_{\text{делится на 100}} + 50^3$

Проверим, делится ли на 100 оставшийся член $50^3$:

$50^3 = 50 \cdot 50 \cdot 50 = 2500 \cdot 50 = (25 \cdot 100) \cdot 50$

Это число также делится на 100.

В итоге, исходная сумма $S$ является суммой двух слагаемых (суммы 49 пар и числа $50^3$), каждое из которых делится на 100. Согласно свойству делимости, если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число.

Следовательно, $S$ делится на 100. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Оба способа показывают, что сумма $1^3 + 2^3 + ... + 99^3$ является целым числом, кратным 100, и, следовательно, делится на 100.

1191. Число $a$ составляет 80% числа $b$, а число $c$ составляет 140% числа $b$. Найдите числа $a$, $b$ и $c$, если число $c$ больше $a$ на 72.

Для решения задачи переведем условия в математические уравнения. Пусть $a$, $b$ и $c$ — искомые числа.

1. Число $a$ составляет 80% числа $b$. Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на число. $80\% = 0.8$.
Получаем первое уравнение: $a = 0.8b$.

2. Число $c$ составляет 140% числа $b$. Аналогично, $140\% = 1.4$.
Получаем второе уравнение: $c = 1.4b$.

3. Число $c$ больше числа $a$ на 72.
Получаем третье уравнение: $c - a = 72$.

Теперь у нас есть система из трех уравнений. Мы можем подставить выражения для $a$ и $c$ из первых двух уравнений в третье:
$(1.4b) - (0.8b) = 72$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $b$:
$0.6b = 72$
$b = \frac{72}{0.6}$
$b = \frac{720}{6}$
$b = 120$

Зная значение $b$, мы можем найти $a$ и $c$.

Найдем $a$:
$a = 0.8 \cdot b = 0.8 \cdot 120 = 96$

Найдем $c$:
$c = 1.4 \cdot b = 1.4 \cdot 120 = 168$

Проверим наше решение: разница между $c$ и $a$ должна быть 72.
$c - a = 168 - 96 = 72$.
Условие выполняется.

Ответ: $a = 96$, $b = 120$, $c = 168$.

1192. Число $a$ составляет $75\%$ числа $b$ и $40\%$ числа $c$. Число $c$ на 42 больше числа $b$. Найдите числа $a$ и $b$.

Для решения задачи составим систему уравнений, исходя из условий, приведённых в тексте. Обозначим неизвестные числа как $a$, $b$ и $c$.

1. Составление уравнений

Из условия, что число $a$ составляет 75% от числа $b$, получаем первое уравнение. Представим проценты в виде десятичной дроби: $75\% = 0.75$.

$a = 0.75 \cdot b$

Из условия, что число $a$ составляет 40% от числа $c$, получаем второе уравнение. Представим проценты в виде десятичной дроби: $40\% = 0.4$.

$a = 0.4 \cdot c$

Из условия, что число $c$ на 42 больше числа $b$, получаем третье уравнение:

$c = b + 42$

2. Решение системы уравнений

Так как левые части первого и второго уравнений равны (обе равны $a$), мы можем приравнять их правые части:

$0.75 \cdot b = 0.4 \cdot c$

Теперь в полученное уравнение подставим выражение для $c$ из третьего уравнения ($c = b + 42$):

$0.75 \cdot b = 0.4 \cdot (b + 42)$

Теперь решим это уравнение относительно $b$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$0.75b = 0.4b + 0.4 \cdot 42$

$0.75b = 0.4b + 16.8$

Перенесём все слагаемые, содержащие $b$, в левую часть уравнения:

$0.75b - 0.4b = 16.8$

$0.35b = 16.8$

Найдём значение $b$:

$b = \frac{16.8}{0.35}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим числитель и знаменатель на 100:

$b = \frac{1680}{35} = 48$

Итак, число $b$ равно 48.

3. Нахождение числа a

Теперь, зная значение $b$, мы можем найти $a$, используя первое уравнение $a = 0.75 \cdot b$:

$a = 0.75 \cdot 48$

Для удобства можно заменить 0.75 на дробь $\frac{3}{4}$:

$a = \frac{3}{4} \cdot 48 = 3 \cdot \frac{48}{4} = 3 \cdot 12 = 36$

Итак, число $a$ равно 36.

Ответ: $a = 36$, $b = 48$.

1193. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы его цифр?

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ – это цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. При этом $a$ является целым числом от 1 до 9, а $b$ – от 0 до 9.

Сумма цифр этого числа равна $a + b$.

Согласно условию задачи, число в 4 раза больше суммы его цифр. Это можно записать в виде уравнения:

$10a + b = 4 \cdot (a + b)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$10a + b = 4a + 4b$

Теперь сгруппируем переменные: перенесем слагаемые с $a$ в левую часть уравнения, а слагаемые с $b$ – в правую.

$10a - 4a = 4b - b$

$6a = 3b$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы выразить одну переменную через другую:

$2a = b$ или $b = 2a$

Теперь нам нужно найти все пары цифр ($a$, $b$), которые удовлетворяют этому равенству, помня об ограничениях для $a$ и $b$. Будем подставлять возможные значения для $a$ (от 1 до 9):

- Если $a = 1$, то $b = 2 \cdot 1 = 2$. Получаем число 12. Проверка: $1 + 2 = 3$, $12 = 4 \cdot 3$. Решение верное.

- Если $a = 2$, то $b = 2 \cdot 2 = 4$. Получаем число 24. Проверка: $2 + 4 = 6$, $24 = 4 \cdot 6$. Решение верное.

- Если $a = 3$, то $b = 2 \cdot 3 = 6$. Получаем число 36. Проверка: $3 + 6 = 9$, $36 = 4 \cdot 9$. Решение верное.

- Если $a = 4$, то $b = 2 \cdot 4 = 8$. Получаем число 48. Проверка: $4 + 8 = 12$, $48 = 4 \cdot 12$. Решение верное.

- Если $a = 5$, то $b = 2 \cdot 5 = 10$. Число 10 не является цифрой, поэтому это и все последующие значения для $a$ не подходят.

Таким образом, мы нашли все двузначные числа, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 12, 24, 36, 48.

1194. Делится ли число $\underbrace{11\dots1}_{81 \text{ раз}}$ на 81?

Для того чтобы число делилось на 81, оно должно делиться на 9 и еще раз на 9, так как $81 = 9 \times 9$. Проверим делимость числа $A$, состоящего из 81 единицы (репьюнит $R_{81}$), на 81 в два этапа.

1. Проверка делимости на 9
Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Найдем сумму цифр числа $A$. Число $A$ состоит из 81 единицы, поэтому сумма его цифр равна:$S = 1 \times 81 = 81$Поскольку 81 делится на 9 ($81 : 9 = 9$), то и само число $A$ делится на 9.

2. Проверка делимости на 81
Мы установили, что число $A$ делится на 9. Теперь нужно доказать, что частное от деления $A$ на 9 также делится на 9.
Представим число $A$ как девять следующих друг за другом блоков, каждый из которых является числом из девяти единиц. Обозначим число из девяти единиц как $B = 111,111,111$. Тогда $A$ можно записать в виде суммы:$A = B \cdot 10^{72} + B \cdot 10^{63} + \dots + B \cdot 10^9 + B$Вынесем $B$ за скобки, чтобы представить $A$ как произведение:$A = B \cdot (1 + 10^9 + 10^{18} + \dots + 10^{72})$
Рассмотрим каждый множитель отдельно.
Первый множитель — это число $B = 111,111,111$. Сумма его цифр равна $1 \times 9 = 9$, следовательно, $B$ делится на 9.
Второй множитель — это сумма $C = 1 + 10^9 + 10^{18} + \dots + 10^{72}$. Это число, состоящее из девяти единиц, разделенных нулями. Сумма его цифр равна 9 (так как в сумме 9 слагаемых, каждое из которых является степенью десяти и имеет сумму цифр, равную 1), следовательно, $C$ также делится на 9.
Поскольку число $A$ является произведением двух чисел ($A = B \times C$), каждое из которых делится на 9, то само число $A$ делится на $9 \times 9 = 81$.

Ответ: Да, делится.

1195. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или единица.

Пусть p — произвольное простое число, а r — остаток от деления числа p на 30. По определению деления с остатком, мы можем записать равенство: $p = 30k + r$, где k — целое неотрицательное число, а остаток r удовлетворяет неравенству $0 \le r < 30$. Нам требуется доказать, что r является либо простым числом, либо единицей.

Рассмотрим сначала простые числа, которые являются делителями числа 30: 2, 3 и 5.
- Если $p = 2$, то $2 = 30 \cdot 0 + 2$. Остаток $r = 2$, что является простым числом.
- Если $p = 3$, то $3 = 30 \cdot 0 + 3$. Остаток $r = 3$, что является простым числом.
- Если $p = 5$, то $5 = 30 \cdot 0 + 5$. Остаток $r = 5$, что является простым числом.
Для этих простых чисел утверждение выполняется.

Теперь рассмотрим случай, когда p — простое число, большее 5. В этом случае p не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Рассмотрим остаток r от деления p на 30. Предположим, что r имеет общий делитель с числом 30, больший единицы. Пусть $d = \text{НОД}(r, 30) > 1$. Так как $d$ делит r и $d$ делит 30, то $d$ должен делить и их линейную комбинацию $30k + r$. Следовательно, $d$ делит p. Поскольку p — простое число и $d > 1$, должно выполняться равенство $d = p$. Но $d$ также является делителем числа 30. Значит, и p должно быть делителем числа 30. Это противоречит нашему предположению, что $p > 5$.

Таким образом, предположение неверно, и для простого $p > 5$ остаток r должен быть взаимно простым с числом 30, то есть $\text{НОД}(r, 30) = 1$. Также остаток r не может быть равен 0, так как если $r = 0$, то $p = 30k$, и число p было бы составным.

Итак, для $p > 5$ остаток r должен быть числом из диапазона $1 \le r < 30$ и быть взаимно простым с 30. Число $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, поэтому r не должно делиться ни на 2, ни на 3, ни на 5. Такими числами являются: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Все эти возможные остатки являются либо единицей (число 1), либо простыми числами.

Объединяя оба случая, мы видим, что остаток от деления любого простого числа на 30 всегда будет либо простым числом (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29), либо единицей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1196. К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число, в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число.

Пусть искомое двузначное число равно $x$.

К этому числу приписали по единице слева и справа. Если представить искомое число в виде $ab$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц, то новое число будет выглядеть как $1ab1$.

Выразим значение нового четырехзначного числа через $x$. Приписывание единицы справа к числу $x$ дает нам число $10x + 1$. Приписывание единицы слева к исходному двузначному числу, которое теперь занимает разряды сотен и десятков, равносильно добавлению 1000. Таким образом, новое число можно представить как $1000 + 10x + 1$, что равно $1001 + 10x$.

Согласно условию, полученное число в 23 раза больше первоначального. На основании этого можно составить уравнение:
$1001 + 10x = 23x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$23x - 10x = 1001$
$13x = 1001$
$x = \frac{1001}{13}$
$x = 77$

Итак, искомое двузначное число — это 77.

Проведем проверку:
Первоначальное число: 77.
Приписываем по единице слева и справа, получаем число 1771.
Проверяем, действительно ли новое число в 23 раза больше первоначального:
$77 \cdot 23 = 1771$.
$1771 = 1771$.
Условие выполняется.

Ответ: 77.

1197. В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось число, которое в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно определению двузначного числа, $a$ является целым числом от 1 до 9, а $b$ — целым числом от 0 до 9.

По условию, после зачеркивания одной из цифр получилось число в 31 раз меньше первоначального. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Зачеркнули цифру единиц (b)

Если зачеркнуть цифру единиц $b$, то от числа $10a + b$ останется число $a$. Согласно условию, первоначальное число в 31 раз больше полученного. Это можно записать в виде уравнения:

$10a + b = 31 \cdot a$

Выразим $b$:

$b = 31a - 10a$

$b = 21a$

Теперь проверим, существуют ли целые числа $a$ и $b$, удовлетворяющие этому равенству и ограничениям на цифры. Так как $a$ — цифра десятков, она не может быть нулем ($a \ge 1$). Возьмем минимальное возможное значение $a=1$:

$b = 21 \cdot 1 = 21$

Полученное значение $b=21$ не является цифрой, так как цифры могут быть только от 0 до 9. Если $a$ будет больше 1, то и $b$ будет еще больше. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: Зачеркнули цифру десятков (a)

Если зачеркнуть цифру десятков $a$, то от числа $10a + b$ останется число $b$. Составим уравнение согласно условию:

$10a + b = 31 \cdot b$

Упростим уравнение:

$10a = 31b - b$

$10a = 30b$

Разделим обе части на 10:

$a = 3b$

Теперь найдем все пары цифр $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому равенству, а также условиям $1 \le a \le 9$ и $0 \le b \le 9$.

• Если $b=0$, то $a = 3 \cdot 0 = 0$. Это невозможно, так как $a$ — первая цифра двузначного числа и не может быть нулем.
• Если $b=1$, то $a = 3 \cdot 1 = 3$. Первоначальное число — 31. Зачеркиваем цифру десятков 3, получаем 1. Проверка: $31 = 31 \cdot 1$. Это верное равенство.
• Если $b=2$, то $a = 3 \cdot 2 = 6$. Первоначальное число — 62. Зачеркиваем цифру десятков 6, получаем 2. Проверка: $62 = 31 \cdot 2$. Это верное равенство.
• Если $b=3$, то $a = 3 \cdot 3 = 9$. Первоначальное число — 93. Зачеркиваем цифру десятков 9, получаем 3. Проверка: $93 = 31 \cdot 3$. Это верное равенство.
• Если $b=4$, то $a = 3 \cdot 4 = 12$. Число 12 не является цифрой, поэтому дальнейшие значения $b$ проверять не нужно.

Таким образом, задача имеет три решения.

Ответ: зачеркнули цифру 3 в числе 31, или цифру 6 в числе 62, или цифру 9 в числе 93.

1198. Первая цифра трёхзначного числа 8. Если эту цифру переставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найдите первоначальное число.

Пусть искомое трёхзначное число — это $8xy$, где $x$ — цифра в разряде десятков, а $y$ — цифра в разряде единиц.

Значение этого числа можно представить в виде суммы разрядных слагаемых: $N_1 = 8 \cdot 100 + x \cdot 10 + y = 800 + 10x + y$.

После того как цифру 8 переставили на последнее место, получилось новое число $xy8$. Его значение: $N_2 = x \cdot 100 + y \cdot 10 + 8 = 100x + 10y + 8$.

По условию задачи, новое число на 18 больше первоначального, то есть $N_2 = N_1 + 18$. Составим и решим уравнение: $(100x + 10y + 8) = (800 + 10x + y) + 18$.

Перенесём слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую: $100x - 10x + 10y - y = 800 + 18 - 8$
$90x + 9y = 810$.

Разделим обе части уравнения на 9: $10x + y = 90$.

Так как $x$ и $y$ являются цифрами (то есть целыми числами от 0 до 9), из уравнения $10x + y = 90$ однозначно следует, что $x=9$ и $y=0$.

Следовательно, первоначальное число — это 890.

Выполним проверку:
Первоначальное число: 890.
Новое число, полученное перестановкой цифры 8 в конец: 908.
Разница между числами: $908 - 890 = 18$.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 890.

1199. Постройте график уравнения:

а) $(x - 2)(y + 3) = 0;$

б) $x^2 + xy = 0.$

а)

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Уравнение $(x - 2)(y + 3) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений:
$x - 2 = 0$ или $y + 3 = 0$.

1. Решим первое уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Графиком этого уравнения является вертикальная прямая, проходящая через точку $(2, 0)$ и параллельная оси $Oy$.

2. Решим второе уравнение:
$y + 3 = 0$
$y = -3$
Графиком этого уравнения является горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, -3)$ и параллельная оси $Ox$.

Таким образом, график уравнения $(x - 2)(y + 3) = 0$ представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых, заданных уравнениями $x = 2$ и $y = -3$.

б)

Преобразуем уравнение $x^2 + xy = 0$, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + y) = 0$.

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
$x = 0$ или $x + y = 0$.

1. Рассмотрим первое уравнение:
$x = 0$
Это уравнение задает ось ординат ($Oy$).

2. Рассмотрим второе уравнение:
$x + y = 0$
$y = -x$
Это уравнение задает прямую, которая является биссектрисой II и IV координатных четвертей и проходит через начало координат.

Следовательно, график уравнения $x^2 + xy = 0$ состоит из двух прямых, пересекающихся в начале координат.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых: ось $Oy$ (заданная уравнением $x = 0$) и прямая $y = -x$.

1200. Постройте график уравнения:

a) $y + |y| = x;$

б) $y = x |y|.$

а) Чтобы построить график уравнения $y + |y| = x$, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака переменной $y$.

1. Случай 1: $y \ge 0$.

В этом случае $|y| = y$. Подставим это в исходное уравнение:

$y + y = x$

$2y = x$

$y = \frac{1}{2}x$

Это уравнение задает прямую линию. Однако мы должны учесть ограничение $y \ge 0$. Так как $y = \frac{1}{2}x$, то условие $y \ge 0$ эквивалентно условию $\frac{1}{2}x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

Таким образом, в этом случае решением является часть прямой $y = \frac{1}{2}x$, для которой $x \ge 0$. Это луч, выходящий из начала координат $(0, 0)$ и проходящий через точку $(2, 1)$, расположенный в первой координатной четверти.

2. Случай 2: $y < 0$.

В этом случае $|y| = -y$. Подставим это в исходное уравнение:

$y + (-y) = x$

$0 = x$

Уравнение $x=0$ задает всю ось ординат (ось $Oy$). Однако мы должны учесть ограничение $y < 0$.

Следовательно, в этом случае решением является та часть оси $Oy$, где $y < 0$. Это отрицательная полуось $Oy$, не включая начало координат.

Объединив решения для обоих случаев, мы получаем искомый график.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух лучей: луча $y = \frac{1}{2}x$ при $x \ge 0$ и отрицательной полуоси $Oy$ (луч $x=0$ при $y < 0$).

б) Чтобы построить график уравнения $y = x|y|$, необходимо рассмотреть три случая, в зависимости от знака переменной $y$.

1. Случай 1: $y > 0$.

В этом случае $|y| = y$. Подставим это в исходное уравнение:

$y = xy$

Перенесем все члены в одну сторону: $y - xy = 0$.

Вынесем $y$ за скобки: $y(1-x) = 0$.

Так как по условию этого случая $y > 0$, то $y \ne 0$. Значит, для выполнения равенства необходимо, чтобы $1-x = 0$, откуда $x=1$.

Таким образом, решением является прямая $x=1$ при условии $y > 0$. Это открытый луч, начинающийся в точке $(1,0)$ и направленный вертикально вверх.

2. Случай 2: $y < 0$.

В этом случае $|y| = -y$. Подставим это в исходное уравнение:

$y = x(-y)$

$y = -xy$

Перенесем все члены в одну сторону: $y + xy = 0$.

Вынесем $y$ за скобки: $y(1+x) = 0$.

Так как по условию этого случая $y < 0$, то $y \ne 0$. Значит, для выполнения равенства необходимо, чтобы $1+x = 0$, откуда $x=-1$.

Таким образом, решением является прямая $x=-1$ при условии $y < 0$. Это открытый луч, начинающийся в точке $(-1,0)$ и направленный вертикально вниз.

3. Случай 3: $y = 0$.

Подставим $y=0$ в исходное уравнение:

$0 = x|0|$

$0 = x \cdot 0$

$0 = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, вся ось абсцисс ($y=0$) является частью графика.

Объединив решения для всех трех случаев, мы получаем искомый график.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение трех множеств: всей оси абсцисс ($y=0$), луча $x=1$ в верхней полуплоскости ($y>0$) и луча $x=-1$ в нижней полуплоскости ($y<0$).

1201. Постройте график функции:

а) $y = |x| - 3$;

б) $y = 4 - |x|$.

а) $y = |x| - 3$

Для построения графика функции $y = |x| - 3$ мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = |x|$.
1. Сначала построим график функции $y = |x|$. Этот график имеет форму "галочки" (или "V"), вершина которой находится в начале координат (0, 0). Он состоит из двух лучей:
- $y = x$ для всех $x \ge 0$ (биссектриса первого координатного угла).
- $y = -x$ для всех $x < 0$ (биссектриса второго координатного угла).
2. График функции $y = |x| - 3$ получается из графика $y = |x|$ путем параллельного переноса (сдвига) всего графика на 3 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

Чтобы построить график точно, найдем несколько ключевых точек:
- Вершина графика: Вершина графика $y=|x|$ находится в точке (0, 0). При сдвиге на 3 вниз она переместится в точку (0, 0 - 3), то есть в точку (0, -3). Это также точка пересечения с осью $Oy$.
- Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции): Найдем их, приравняв $y$ к нулю.
$|x| - 3 = 0$
$|x| = 3$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Следовательно, график пересекает ось $Ox$ в точках (-3, 0) и (3, 0).

Итак, график функции $y = |x| - 3$ — это "галочка", вершина которой находится в точке (0, -3), а ветви направлены вверх и проходят через точки (-3, 0) и (3, 0).

Ответ: График функции $y = |x| - 3$ представляет собой график функции $y = |x|$, смещенный на 3 единицы вниз по оси $Oy$. Вершина графика находится в точке (0, -3), ветви направлены вверх.

б) $y = 4 - |x|$

Для построения графика функции $y = 4 - |x|$ мы также применим преобразования к графику $y = |x|$. Запишем функцию в виде $y = -|x| + 4$.
1. Начнем с графика $y = |x|$.
2. Построим график функции $y = -|x|$. Этот график получается путем симметричного отражения графика $y = |x|$ относительно оси абсцисс ($Ox$). В результате "галочка" переворачивается, и ее ветви направлены вниз. Вершина остается в точке (0, 0).
3. Теперь построим график функции $y = -|x| + 4$. Он получается из графика $y = -|x|$ путем параллельного переноса (сдвига) на 4 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

Найдем ключевые точки для точного построения:
- Вершина графика: Вершина графика $y=-|x|$ находится в точке (0, 0). При сдвиге на 4 вверх она переместится в точку (0, 0 + 4), то есть в точку (0, 4). Это также точка пересечения с осью $Oy$.
- Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции): Приравняем $y$ к нулю.
$4 - |x| = 0$
$|x| = 4$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Следовательно, график пересекает ось $Ox$ в точках (-4, 0) и (4, 0).

Итак, график функции $y = 4 - |x|$ — это перевернутая "галочка", вершина которой находится в точке (0, 4), а ветви направлены вниз и проходят через точки (-4, 0) и (4, 0).

Ответ: График функции $y = 4 - |x|$ представляет собой график функции $y = |x|$, который сначала отражен симметрично относительно оси $Ox$, а затем смещен на 4 единицы вверх по оси $Oy$. Вершина графика находится в точке (0, 4), ветви направлены вниз.

1202. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.

Пусть искомое натуральное число — это $N$. Согласно условию задачи, должны выполняться два требования:
1. Число $2N$ является квадратом некоторого натурального числа. Обозначим это как $2N = a^2$.
2. Число $3N$ является кубом некоторого натурального числа. Обозначим это как $3N = b^3$.

Для того чтобы натуральное число было полным квадратом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть четными.
Для того чтобы натуральное число было полным кубом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть кратны 3.

Представим число $N$ в виде канонического разложения на простые множители. Так как в условиях задачи фигурируют множители 2 и 3, то в разложении $N$ они должны присутствовать. Пусть $N = 2^x \cdot 3^y \cdot k$, где $k$ — произведение остальных простых множителей в соответствующих степенях.

Рассмотрим первое условие: $2N = 2 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^{x+1} \cdot 3^y \cdot k$.
Чтобы это число было полным квадратом, показатели степеней всех простых множителей в его разложении должны быть четными.
- Показатель степени у двойки, $(x+1)$, должен быть четным. Это означает, что $x$ должен быть нечетным.
- Показатель степени у тройки, $y$, должен быть четным.
- Все показатели степеней простых множителей в $k$ также должны быть четными.

Рассмотрим второе условие: $3N = 3 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^x \cdot 3^{y+1} \cdot k$.
Чтобы это число было полным кубом, показатели степеней всех простых множителей в его разложении должны быть кратны 3.
- Показатель степени у двойки, $x$, должен быть кратен 3.
- Показатель степени у тройки, $(y+1)$, должен быть кратен 3.
- Все показатели степеней простых множителей в $k$ также должны быть кратны 3.

Теперь объединим требования для нахождения наименьшего числа $N$. Для этого нужно найти наименьшие неотрицательные целые значения для показателей степеней.
- Для показателя $x$ (степень двойки): $x$ должен быть нечетным и кратным 3. Наименьшее такое натуральное число — это 3. Итак, $x=3$.
- Для показателя $y$ (степень тройки): $y$ должен быть четным, а $(y+1)$ должен быть кратен 3. Переберем наименьшие четные числа для $y$:
Если $y=0$, то $y+1=1$, что не кратно 3.
Если $y=2$, то $y+1=3$, что кратно 3. Это наименьшее подходящее значение. Итак, $y=2$.
- Для множителя $k$: все показатели степеней в его разложении должны быть одновременно четными и кратными 3, то есть кратными 6. Чтобы $N$ было наименьшим, мы должны взять наименьший возможный $k$, а именно $k=1$ (это означает, что все остальные простые множители имеют показатель степени 0).

Таким образом, мы нашли наименьшие возможные показатели степеней для множителей 2 и 3.
Искомое число $N$ имеет вид: $N = 2^x \cdot 3^y = 2^3 \cdot 3^2$.
Вычисляем значение $N$: $N = 8 \cdot 9 = 72$.

Проверим найденное число:
$2 \cdot N = 2 \cdot 72 = 144 = 12^2$ — является квадратом.
$3 \cdot N = 3 \cdot 72 = 216 = 6^3$ — является кубом.
Оба условия выполняются. Следовательно, наименьшее такое натуральное число — 72.

Ответ: 72

1203. Докажите, что значение выражения $96^7 - 22^5 - 48^6$ кратно 10.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $96^7 - 22^5 - 48^6$ кратно 10, необходимо установить, что последняя цифра этого значения равна 0. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0.

Для этого мы последовательно найдем последнюю цифру каждого члена выражения.

1. Найдем последнюю цифру числа $96^7$.
Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры основания. Основание 96 оканчивается на 6. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также будет оканчиваться на 6.
Например: $6^1 = 6$, $6^2 = 36$, $6^3 = 216$.
Следовательно, последняя цифра числа $96^7$ — это 6.

2. Найдем последнюю цифру числа $22^5$.
Последняя цифра этого числа определяется последней цифрой основания, то есть 2. Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 2:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (последняя цифра 6)
$2^5 = 32$ (последняя цифра 2)
Последние цифры степеней числа 2 повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы найти последнюю цифру для $2^5$, нужно определить, какой по счету в этом цикле она будет. Для этого найдем остаток от деления показателя степени 5 на длину цикла 4: $5 \div 4 = 1$ (остаток 1). Остаток 1 соответствует первому элементу в цикле.
Следовательно, последняя цифра числа $22^5$ — это 2.

3. Найдем последнюю цифру числа $48^6$.
Последняя цифра этого числа определяется последней цифрой основания, то есть 8. Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 8:
$8^1 = 8$
$8^2 = 64$ (последняя цифра 4)
$8^3 = 512$ (последняя цифра 2)
$8^4 = 4096$ (последняя цифра 6)
$8^5 = 32768$ (последняя цифра 8)
Последние цифры степеней числа 8 повторяются с циклом длиной 4: (8, 4, 2, 6). Чтобы найти последнюю цифру для $8^6$, найдем остаток от деления показателя 6 на 4: $6 \div 4 = 1$ (остаток 2). Остаток 2 соответствует второму элементу в цикле.
Следовательно, последняя цифра числа $48^6$ — это 4.

4. Теперь определим последнюю цифру всего выражения $96^7 - 22^5 - 48^6$.
Для этого выполним вычитание, используя только найденные последние цифры: ...6 - ...2 - ...4.
Это эквивалентно вычислению последней цифры числа $(...6 - ...2) - ...4$, что дает ...4 - ...4, и в результате получается число, оканчивающееся на 0.
Или можно записать так: $6 - (2 + 4) = 6 - 6 = 0$.
Таким образом, последняя цифра значения исходного выражения равна 0.

Так как значение выражения оканчивается на 0, оно кратно 10. Доказательство завершено.

Ответ: Поскольку последняя цифра значения выражения $96^7$ равна 6, $22^5$ равна 2, а $48^6$ равна 4, последняя цифра всего выражения равна $6 - 2 - 4 = 0$. Число, оканчивающееся на 0, делится на 10.

1204. В координатной плоскости (рис. 85) отмечена точка $M(x; y)$. Отметьте в этой координатной плоскости точки $A(2x; 2y)$, $B(-3x; \frac{1}{2}y)$, $C(\frac{1}{2}x; -2y)$, $D(-\frac{1}{2}x; -\frac{1}{3}y)$.

Рис. 85

Для решения задачи сначала определим координаты точки $M(x; y)$ по рисунку. На координатной плоскости каждая клетка представляет собой единичный отрезок. Чтобы добраться от начала координат (точки O(0; 0)) до точки M, необходимо сместиться на 2 единицы вправо по оси абсцисс (оси x) и на 3 единицы вверх по оси ординат (оси y). Следовательно, координаты точки M: $x = 2$ и $y = 3$.

Теперь, зная значения $x$ и $y$, мы можем вычислить координаты точек A, B, C и D.

Подставляем значения $x=2$ и $y=3$ в координаты точки A:
Абсцисса: $x_A = 2x = 2 \cdot 2 = 4$.
Ордината: $y_A = 2y = 2 \cdot 3 = 6$.
Координаты точки A: $(4; 6)$.
Ответ: A(4; 6).

Подставляем значения $x=2$ и $y=3$ в координаты точки B:
Абсцисса: $x_B = -3x = -3 \cdot 2 = -6$.
Ордината: $y_B = \frac{1}{2}y = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$.
Координаты точки B: $(-6; 1,5)$.
Ответ: B(-6; 1,5).

Подставляем значения $x=2$ и $y=3$ в координаты точки C:
Абсцисса: $x_C = \frac{1}{2}x = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.
Ордината: $y_C = -2y = -2 \cdot 3 = -6$.
Координаты точки C: $(1; -6)$.
Ответ: C(1; -6).

Подставляем значения $x=2$ и $y=3$ в координаты точки D:
Абсцисса: $x_D = -\frac{1}{2}x = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$.
Ордината: $y_D = -\frac{1}{3}y = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$.
Координаты точки D: $(-1; -1)$.
Ответ: D(-1; -1).

Теперь отметим все точки на координатной плоскости:

Ответ: Точки отмечены на графике выше. Их координаты: A(4; 6), B(-6; 1,5), C(1; -6), D(-1; -1).

1205. Что больше: $\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1}$ или $\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}$?

Для того чтобы определить, какое из двух выражений больше, сравним дроби $\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1}$ и $\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}$.

Наиболее прямым способом является метод перекрестного умножения. Для сравнения двух положительных дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ нужно сравнить произведения $a \cdot d$ и $b \cdot c$.

• Если $a \cdot d > b \cdot c$, то $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.
• Если $a \cdot d < b \cdot c$, то $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.

В нашем случае пусть:

$a = 10^{10} + 1$

$b = 10^{11} + 1$

$c = 10^{11} + 1$

$d = 10^{12} + 1$

Найдем и сравним произведения $ad$ и $bc$.

Произведение $ad$ равно:

$ad = (10^{10} + 1)(10^{12} + 1) = 10^{10} \cdot 10^{12} + 10^{10} \cdot 1 + 1 \cdot 10^{12} + 1 \cdot 1 = 10^{22} + 10^{12} + 10^{10} + 1$

Произведение $bc$ равно:

$bc = (10^{11} + 1)(10^{11} + 1) = (10^{11} + 1)^2 = (10^{11})^2 + 2 \cdot 10^{11} \cdot 1 + 1^2 = 10^{22} + 2 \cdot 10^{11} + 1$

Теперь сравним полученные выражения:

$10^{22} + 10^{12} + 10^{10} + 1$ и $10^{22} + 2 \cdot 10^{11} + 1$

Из обоих выражений можно вычесть общие слагаемые $10^{22}$ и $1$. Тогда задача сводится к сравнению следующих чисел:

$10^{12} + 10^{10}$ и $2 \cdot 10^{11}$

Чтобы упростить сравнение, вынесем за скобки общий множитель $10^{10}$ (наименьшую степень десятки):

$10^{10}(10^2 + 1)$ и $10^{10}(2 \cdot 10^1)$

Проведем вычисления в скобках:

$10^{10}(100 + 1)$ и $10^{10}(20)$

$101 \cdot 10^{10}$ и $20 \cdot 10^{10}$

Так как $101 > 20$, то и произведение $101 \cdot 10^{10}$ больше, чем $20 \cdot 10^{10}$.

Таким образом, мы доказали, что $ad > bc$. Это означает, что первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1}$ больше, чем $\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}$.

1206. Представьте выражение $2x^2 + 2y^2$ в виде суммы двух квадратов.

Чтобы представить выражение $2x^2 + 2y^2$ в виде суммы двух квадратов, необходимо выполнить ряд алгебраических преобразований.

Сначала представим каждый член выражения как сумму двух одинаковых слагаемых: $2x^2 = x^2 + x^2$ и $2y^2 = y^2 + y^2$.
Таким образом, исходное выражение можно записать в виде: $2x^2 + 2y^2 = x^2 + x^2 + y^2 + y^2$.

Далее, воспользуемся методом добавления и вычитания одного и того же слагаемого. Добавим и вычтем $2xy$. Значение выражения при этом не изменится: $x^2 + x^2 + y^2 + y^2 = (x^2 + x^2 + y^2 + y^2 + 2xy) - 2xy$.

Теперь перегруппируем слагаемые так, чтобы можно было применить формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:
Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сгруппируем наши слагаемые следующим образом: $(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)$.

Первая группа слагаемых $(x^2 + 2xy + y^2)$ является полным квадратом суммы $(x+y)^2$.

Вторая группа слагаемых $(x^2 - 2xy + y^2)$ является полным квадратом разности $(x-y)^2$.

Следовательно, исходное выражение можно представить как сумму этих двух квадратов: $2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2$.

Ответ: $(x+y)^2 + (x-y)^2$.

1207. Если $x \neq 0$ или $y \neq 0$, то значение выражения $15x^2 - 18xy + 15y^2$ положительно. Докажите это.

Для доказательства того, что выражение $15x^2 - 18xy + 15y^2$ положительно при условии, что $x \neq 0$ или $y \neq 0$, мы преобразуем данное выражение, выделив полные квадраты.

Исходное выражение: $15x^2 - 18xy + 15y^2$.

Представим коэффициенты 15 как сумму $9+6$:

$15x^2 - 18xy + 15y^2 = (9x^2 + 6x^2) - 18xy + (9y^2 + 6y^2)$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат:

$(9x^2 - 18xy + 9y^2) + 6x^2 + 6y^2$

Выражение в скобках является полным квадратом разности, умноженным на 9:

$9x^2 - 18xy + 9y^2 = 9(x^2 - 2xy + y^2) = 9(x-y)^2$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде суммы трех слагаемых:

$15x^2 - 18xy + 15y^2 = 9(x-y)^2 + 6x^2 + 6y^2$

Проанализируем полученное выражение. Каждое из слагаемых является неотрицательным для любых действительных значений $x$ и $y$:
$9(x-y)^2 \ge 0$
$6x^2 \ge 0$
$6y^2 \ge 0$

Сумма нескольких неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых равно нулю. Найдем, при каких условиях это происходит:
1) $9(x-y)^2 = 0 \implies x=y$
2) $6x^2 = 0 \implies x=0$
3) $6y^2 = 0 \implies y=0$
Все три условия выполняются одновременно только при $x=0$ и $y=0$.

По условию задачи, $x \neq 0$ или $y \neq 0$, что означает, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно. Следовательно, случай $x=0, y=0$ исключен.

Поскольку выражение равно нулю только при $x=y=0$, а во всех остальных случаях оно неотрицательно (как сумма неотрицательных слагаемых), то при условии, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно, выражение будет строго положительным.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $15x^2 - 18xy + 15y^2$ было преобразовано к виду $9(x-y)^2 + 6x^2 + 6y^2$. Эта сумма является суммой неотрицательных слагаемых и равна нулю только при $x=0$ и $y=0$. Так как по условию $x$ и $y$ не равны нулю одновременно, значение выражения всегда строго больше нуля.