Номер 1201, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1201, страница 233.

Условие.

1201. Постройте график функции:

а) $y = |x| - 3$;

б) $y = 4 - |x|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = |x| - 3$

Для построения графика функции $y = |x| - 3$ мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = |x|$.
1. Сначала построим график функции $y = |x|$. Этот график имеет форму "галочки" (или "V"), вершина которой находится в начале координат (0, 0). Он состоит из двух лучей:
- $y = x$ для всех $x \ge 0$ (биссектриса первого координатного угла).
- $y = -x$ для всех $x < 0$ (биссектриса второго координатного угла).
2. График функции $y = |x| - 3$ получается из графика $y = |x|$ путем параллельного переноса (сдвига) всего графика на 3 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

Чтобы построить график точно, найдем несколько ключевых точек:
- Вершина графика: Вершина графика $y=|x|$ находится в точке (0, 0). При сдвиге на 3 вниз она переместится в точку (0, 0 - 3), то есть в точку (0, -3). Это также точка пересечения с осью $Oy$.
- Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции): Найдем их, приравняв $y$ к нулю.
$|x| - 3 = 0$
$|x| = 3$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Следовательно, график пересекает ось $Ox$ в точках (-3, 0) и (3, 0).

Итак, график функции $y = |x| - 3$ — это "галочка", вершина которой находится в точке (0, -3), а ветви направлены вверх и проходят через точки (-3, 0) и (3, 0).

Ответ: График функции $y = |x| - 3$ представляет собой график функции $y = |x|$, смещенный на 3 единицы вниз по оси $Oy$. Вершина графика находится в точке (0, -3), ветви направлены вверх.

б) $y = 4 - |x|$

Для построения графика функции $y = 4 - |x|$ мы также применим преобразования к графику $y = |x|$. Запишем функцию в виде $y = -|x| + 4$.
1. Начнем с графика $y = |x|$.
2. Построим график функции $y = -|x|$. Этот график получается путем симметричного отражения графика $y = |x|$ относительно оси абсцисс ($Ox$). В результате "галочка" переворачивается, и ее ветви направлены вниз. Вершина остается в точке (0, 0).
3. Теперь построим график функции $y = -|x| + 4$. Он получается из графика $y = -|x|$ путем параллельного переноса (сдвига) на 4 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

Найдем ключевые точки для точного построения:
- Вершина графика: Вершина графика $y=-|x|$ находится в точке (0, 0). При сдвиге на 4 вверх она переместится в точку (0, 0 + 4), то есть в точку (0, 4). Это также точка пересечения с осью $Oy$.
- Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции): Приравняем $y$ к нулю.
$4 - |x| = 0$
$|x| = 4$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Следовательно, график пересекает ось $Ox$ в точках (-4, 0) и (4, 0).

Итак, график функции $y = 4 - |x|$ — это перевернутая "галочка", вершина которой находится в точке (0, 4), а ветви направлены вниз и проходят через точки (-4, 0) и (4, 0).

Ответ: График функции $y = 4 - |x|$ представляет собой график функции $y = |x|$, который сначала отражен симметрично относительно оси $Ox$, а затем смещен на 4 единицы вверх по оси $Oy$. Вершина графика находится в точке (0, 4), ветви направлены вниз.