Номер 1195, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1195, страница 233.

Условие.

1195. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или единица.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть p — произвольное простое число, а r — остаток от деления числа p на 30. По определению деления с остатком, мы можем записать равенство: $p = 30k + r$, где k — целое неотрицательное число, а остаток r удовлетворяет неравенству $0 \le r < 30$. Нам требуется доказать, что r является либо простым числом, либо единицей.

Рассмотрим сначала простые числа, которые являются делителями числа 30: 2, 3 и 5.
- Если $p = 2$, то $2 = 30 \cdot 0 + 2$. Остаток $r = 2$, что является простым числом.
- Если $p = 3$, то $3 = 30 \cdot 0 + 3$. Остаток $r = 3$, что является простым числом.
- Если $p = 5$, то $5 = 30 \cdot 0 + 5$. Остаток $r = 5$, что является простым числом.
Для этих простых чисел утверждение выполняется.

Теперь рассмотрим случай, когда p — простое число, большее 5. В этом случае p не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Рассмотрим остаток r от деления p на 30. Предположим, что r имеет общий делитель с числом 30, больший единицы. Пусть $d = \text{НОД}(r, 30) > 1$. Так как $d$ делит r и $d$ делит 30, то $d$ должен делить и их линейную комбинацию $30k + r$. Следовательно, $d$ делит p. Поскольку p — простое число и $d > 1$, должно выполняться равенство $d = p$. Но $d$ также является делителем числа 30. Значит, и p должно быть делителем числа 30. Это противоречит нашему предположению, что $p > 5$.

Таким образом, предположение неверно, и для простого $p > 5$ остаток r должен быть взаимно простым с числом 30, то есть $\text{НОД}(r, 30) = 1$. Также остаток r не может быть равен 0, так как если $r = 0$, то $p = 30k$, и число p было бы составным.

Итак, для $p > 5$ остаток r должен быть числом из диапазона $1 \le r < 30$ и быть взаимно простым с 30. Число $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, поэтому r не должно делиться ни на 2, ни на 3, ни на 5. Такими числами являются: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Все эти возможные остатки являются либо единицей (число 1), либо простыми числами.

Объединяя оба случая, мы видим, что остаток от деления любого простого числа на 30 всегда будет либо простым числом (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29), либо единицей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.