Номер 1202, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1202, страница 233.

Условие.

1202. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть искомое натуральное число — это $N$. Согласно условию задачи, должны выполняться два требования:
1. Число $2N$ является квадратом некоторого натурального числа. Обозначим это как $2N = a^2$.
2. Число $3N$ является кубом некоторого натурального числа. Обозначим это как $3N = b^3$.

Для того чтобы натуральное число было полным квадратом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть четными.
Для того чтобы натуральное число было полным кубом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть кратны 3.

Представим число $N$ в виде канонического разложения на простые множители. Так как в условиях задачи фигурируют множители 2 и 3, то в разложении $N$ они должны присутствовать. Пусть $N = 2^x \cdot 3^y \cdot k$, где $k$ — произведение остальных простых множителей в соответствующих степенях.

Рассмотрим первое условие: $2N = 2 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^{x+1} \cdot 3^y \cdot k$.
Чтобы это число было полным квадратом, показатели степеней всех простых множителей в его разложении должны быть четными.
- Показатель степени у двойки, $(x+1)$, должен быть четным. Это означает, что $x$ должен быть нечетным.
- Показатель степени у тройки, $y$, должен быть четным.
- Все показатели степеней простых множителей в $k$ также должны быть четными.

Рассмотрим второе условие: $3N = 3 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^x \cdot 3^{y+1} \cdot k$.
Чтобы это число было полным кубом, показатели степеней всех простых множителей в его разложении должны быть кратны 3.
- Показатель степени у двойки, $x$, должен быть кратен 3.
- Показатель степени у тройки, $(y+1)$, должен быть кратен 3.
- Все показатели степеней простых множителей в $k$ также должны быть кратны 3.

Теперь объединим требования для нахождения наименьшего числа $N$. Для этого нужно найти наименьшие неотрицательные целые значения для показателей степеней.
- Для показателя $x$ (степень двойки): $x$ должен быть нечетным и кратным 3. Наименьшее такое натуральное число — это 3. Итак, $x=3$.
- Для показателя $y$ (степень тройки): $y$ должен быть четным, а $(y+1)$ должен быть кратен 3. Переберем наименьшие четные числа для $y$:
Если $y=0$, то $y+1=1$, что не кратно 3.
Если $y=2$, то $y+1=3$, что кратно 3. Это наименьшее подходящее значение. Итак, $y=2$.
- Для множителя $k$: все показатели степеней в его разложении должны быть одновременно четными и кратными 3, то есть кратными 6. Чтобы $N$ было наименьшим, мы должны взять наименьший возможный $k$, а именно $k=1$ (это означает, что все остальные простые множители имеют показатель степени 0).

Таким образом, мы нашли наименьшие возможные показатели степеней для множителей 2 и 3.
Искомое число $N$ имеет вид: $N = 2^x \cdot 3^y = 2^3 \cdot 3^2$.
Вычисляем значение $N$: $N = 8 \cdot 9 = 72$.

Проверим найденное число:
$2 \cdot N = 2 \cdot 72 = 144 = 12^2$ — является квадратом.
$3 \cdot N = 3 \cdot 72 = 216 = 6^3$ — является кубом.
Оба условия выполняются. Следовательно, наименьшее такое натуральное число — 72.

Ответ: 72