Номер 1209, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1209, страница 234.

Условие.

1209. Докажите, что $p^2 - 1$ кратно 24, если $p$ — простое число, большее 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы доказать, что выражение $p^2 - 1$ кратно 24, необходимо показать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \times 8$, а числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Сначала разложим выражение $p^2 - 1$ на множители, используя формулу разности квадратов:$p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$.

Докажем делимость на 3. По условию, $p$ — простое число, большее 3, следовательно, $p$ не делится на 3. При делении на 3 любое целое число, не кратное трем, может давать в остатке 1 или 2.

• Если остаток от деления $p$ на 3 равен 1, то $p$ можно записать в виде $p = 3k + 1$ для некоторого целого $k$. Тогда множитель $(p - 1) = (3k + 1) - 1 = 3k$, то есть он делится на 3.
• Если остаток от деления $p$ на 3 равен 2, то $p$ можно записать в виде $p = 3k + 2$. Тогда множитель $(p + 1) = (3k + 2) + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)$, то есть он делится на 3.

В любом из этих случаев один из множителей, $(p - 1)$ или $(p + 1)$, делится на 3. Следовательно, их произведение $p^2 - 1$ также делится на 3.

Теперь докажем делимость на 8. Так как $p$ — простое число, большее 3, оно является нечетным числом (единственное четное простое число — это 2).Тогда $(p - 1)$ и $(p + 1)$ — это два последовательных четных числа.

Произведение двух последовательных четных чисел всегда делится на 8. Пусть эти числа $2n$ и $2n + 2$. Их произведение равно $2n(2n + 2) = 4n(n + 1)$.Числа $n$ и $(n + 1)$ — это два последовательных целых числа, поэтому одно из них обязательно является четным. Это означает, что их произведение $n(n + 1)$ делится на 2.Таким образом, всё выражение $4n(n + 1)$ делится на $4 \times 2 = 8$.Поскольку $(p - 1)$ и $(p + 1)$ — это последовательные четные числа, их произведение $p^2 - 1$ делится на 8.

Итак, мы доказали, что $p^2 - 1$ делится и на 3, и на 8. Так как числа 3 и 8 взаимно просты, то выражение $p^2 - 1$ должно делиться на их произведение, то есть на $3 \times 8 = 24$.

Ответ: Утверждение доказано.