Номер 1216, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1216, страница 234.

Условие.

1216. Докажите, что если $y$ есть среднее арифметическое $x$ и $z$, то $x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Согласно условию задачи, $y$ является средним арифметическим $x$ и $z$. Это означает, что переменные связаны следующим соотношением:

$y = \frac{x+z}{2}$

Требуется доказать, что при выполнении этого условия справедливо равенство:

$x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0$

Для доказательства преобразуем левую часть этого равенства. Сгруппируем слагаемые:

$(x^4 - z^4) + (2x^3z - 2xz^3) - (4x^2y^2 - 4y^2z^2)$

Теперь разложим на множители каждую группу. Первую группу разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ дважды:

$x^4 - z^4 = (x^2-z^2)(x^2+z^2) = (x-z)(x+z)(x^2+z^2)$

Во второй и третьей группах вынесем общие множители за скобки:

$2x^3z - 2xz^3 = 2xz(x^2-z^2) = 2xz(x-z)(x+z)$

$4x^2y^2 - 4y^2z^2 = 4y^2(x^2-z^2) = 4y^2(x-z)(x+z)$

Подставим полученные разложения обратно в выражение и вынесем общий множитель $(x-z)(x+z)$ за скобки:

$(x-z)(x+z)(x^2+z^2) + 2xz(x-z)(x+z) - 4y^2(x-z)(x+z) = (x-z)(x+z)[(x^2+z^2) + 2xz - 4y^2]$

Выражение в квадратных скобках можно упростить. Заметим, что $x^2+2xz+z^2$ является полным квадратом суммы $(x+z)^2$.

$(x-z)(x+z)[(x+z)^2 - 4y^2]$

Теперь вернемся к исходному условию $y = \frac{x+z}{2}$. Из него следует, что $2y = x+z$. Возведя обе части в квадрат, получим $(2y)^2 = (x+z)^2$, то есть $4y^2 = (x+z)^2$.

Подставим $4y^2 = (x+z)^2$ в наше преобразованное выражение:

$(x-z)(x+z)[(x+z)^2 - (x+z)^2]$

Выражение в квадратных скобках равно нулю:

$(x-z)(x+z)[0] = 0$

Мы показали, что левая часть исходного равенства тождественно равна нулю при заданном условии. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, что если $y$ есть среднее арифметическое $x$ и $z$, то $x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0$, является верным.