Номер 1217, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1217, страница 234.

Условие.

1217. Найдите все простые числа p и q, для которых $p^2 - 2q^2 = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Нам дано уравнение $p^2 - 2q^2 = 1$, где $p$ и $q$ — простые числа.

Рассмотрим возможные значения для $p$.

Случай 1: $p=2$.

Подставим $p=2$ в уравнение: $2^2 - 2q^2 = 1$, что дает $4 - 2q^2 = 1$. Отсюда $2q^2 = 3$, или $q^2 = 3/2$. Это уравнение не имеет решений в целых числах для $q$, следовательно, $p$ не может быть равно 2.

Случай 2: $p$ — нечетное простое число.

Поскольку $p$ — простое число, отличное от 2, оно должно быть нечетным. Значит, $p \ge 3$.

Перепишем исходное уравнение в виде $p^2 - 1 = 2q^2$. Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(p-1)(p+1) = 2q^2$

Так как $p$ — нечетное число, то $p-1$ и $p+1$ являются последовательными четными числами. Пусть $p-1=2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $p+1 = (p-1)+2 = 2k+2 = 2(k+1)$.

Их произведение равно $(p-1)(p+1) = 2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$.

Поскольку $k$ и $k+1$ — последовательные целые числа, одно из них обязательно четное. Это означает, что их произведение $k(k+1)$ всегда делится на 2. Следовательно, произведение $(p-1)(p+1) = 4k(k+1)$ делится на $4 \cdot 2 = 8$.

Так как $(p-1)(p+1)$ делится на 8, то и правая часть уравнения, $2q^2$, должна делиться на 8. Это означает, что $q^2$ должно делиться на $8/2=4$.

Если $q^2$ делится на 4, то $q$ должно быть четным числом, то есть делиться на 2.

Поскольку $q$ — простое число и оно делится на 2, единственная возможность — это $q=2$.

Теперь, когда мы нашли значение $q$, подставим его в исходное уравнение, чтобы найти $p$:

$p^2 - 2(2^2) = 1$

$p^2 - 8 = 1$

$p^2 = 9$

Поскольку $p$ — простое число, оно должно быть положительным, поэтому $p=3$. Число 3 является простым.

Таким образом, единственная пара простых чисел, удовлетворяющая уравнению, это $p=3$ и $q=2$. Проверим: $3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 8 = 1$.

Ответ: $p=3, q=2$.