Номер 1221, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1221, страница 234.

Условие.

1221. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x - y = -1, \\ y - z = -1, \\ z + x = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = -3, \\ y + z = 6, \\ z + x = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y + 2z = 1, \\ x - y - z = -2, \\ 2x - y + z = -1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = -1, & (1) \\ y - z = -1, & (2) \\ z + x = 8. & (3) \end{cases} $

Самый простой способ решить данную систему — сложить все три уравнения. Это позволит нам сократить переменные $y$ и $z$.

$(x - y) + (y - z) + (z + x) = -1 + (-1) + 8$

$x - y + y - z + z + x = 6$

$2x = 6$

$x = 3$

Теперь, когда мы знаем значение $x$, мы можем подставить его в уравнения (1) и (3), чтобы найти $y$ и $z$.

Подставим $x = 3$ в первое уравнение:

$3 - y = -1$

$-y = -1 - 3$

$-y = -4$

$y = 4$

Подставим $x = 3$ в третье уравнение:

$z + 3 = 8$

$z = 8 - 3$

$z = 5$

Проверим найденные значения, подставив их во второе уравнение:

$y - z = 4 - 5 = -1$. Равенство верно.

Ответ: $(3; 4; 5)$

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -3, & (1) \\ y + z = 6, & (2) \\ z + x = 1. & (3) \end{cases} $

Как и в предыдущем случае, сложим все три уравнения:

$(x + y) + (y + z) + (z + x) = -3 + 6 + 1$

$2x + 2y + 2z = 4$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x + y + z = 2$ (4)

Теперь мы можем вычесть каждое из исходных уравнений из полученного уравнения (4), чтобы найти каждую переменную.

Вычтем уравнение (1) из уравнения (4):

$(x + y + z) - (x + y) = 2 - (-3)$

$z = 5$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (4):

$(x + y + z) - (y + z) = 2 - 6$

$x = -4$

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

$(x + y + z) - (z + x) = 2 - 1$

$y = 1$

Ответ: $(-4; 1; 5)$

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y + 2z = 1, & (1) \\ x - y - z = -2, & (2) \\ 2x - y + z = -1. & (3) \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от переменных $x$ и $y$ и найти $z$.

$(x - y + 2z) - (x - y - z) = 1 - (-2)$

$x - y + 2z - x + y + z = 1 + 2$

$3z = 3$

$z = 1$

Теперь подставим значение $z = 1$ в исходную систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y + 2(1) = 1 \\ 2x - y + 1 = -1 \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} x - y = -1, & (4) \\ 2x - y = -2. & (5) \end{cases} $

Теперь решим эту систему двух уравнений. Вычтем уравнение (4) из уравнения (5):

$(2x - y) - (x - y) = -2 - (-1)$

$2x - y - x + y = -2 + 1$

$x = -1$

Подставим найденное значение $x = -1$ в уравнение (4), чтобы найти $y$.

$-1 - y = -1$

$-y = -1 + 1$

$-y = 0$

$y = 0$

Проверим найденные значения $x=-1, y=0, z=1$ в третьем исходном уравнении:

$2(-1) - 0 + 1 = -2 + 1 = -1$. Равенство верно.

Ответ: $(-1; 0; 1)$