Номер 1220, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1220, страница 234.

Условие.

1220. При каких натуральных значениях $x$ и $y$ верно равенство $3x + 7y = 23$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Требуется найти натуральные значения $x$ и $y$ для уравнения $3x + 7y = 23$. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \dots$).

Данное уравнение является линейным диофантовым уравнением. Чтобы найти его решения в натуральных числах, можно выразить одну переменную через другую и провести анализ полученного выражения. Эффективнее выражать переменную с меньшим коэффициентом, но в данном случае разница невелика. Выразим $x$ через $y$:

$3x = 23 - 7y$

$x = \frac{23 - 7y}{3}$

Так как $x$ и $y$ по условию являются натуральными числами, то $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Из неравенства $x \ge 1$ следует:

$\frac{23 - 7y}{3} \ge 1$

$23 - 7y \ge 3$

$20 \ge 7y$

$y \le \frac{20}{7}$ или $y \le 2\frac{6}{7}$.

Учитывая, что $y$ — натуральное число, возможными значениями для $y$ являются $1$ и $2$.

Теперь необходимо проверить каждое из этих значений, чтобы найти соответствующее натуральное значение $x$.

Случай 1: $y = 1$

Подставим $y = 1$ в выражение для $x$:

$x = \frac{23 - 7(1)}{3} = \frac{16}{3}$

Значение $x = \frac{16}{3}$ не является целым, а значит, и не является натуральным. Следовательно, эта пара чисел не является решением.

Случай 2: $y = 2$

Подставим $y = 2$ в выражение для $x$:

$x = \frac{23 - 7(2)}{3} = \frac{23 - 14}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Значение $x = 3$ является натуральным числом. Таким образом, пара $(x, y) = (3, 2)$ является решением.

Так как мы проверили все возможные натуральные значения для $y$, других решений в натуральных числах нет.

Выполним проверку: $3(3) + 7(2) = 9 + 14 = 23$. Равенство верно.

Ответ: $x=3$, $y=2$.