Номер 1215, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1215, страница 234.

Условие.

1215. Докажите, что не существует целых коэффициентов $a, b, c$ и $d$, таких, что значение многочлена $ax^3 + bx^2 + cx + d$ равно 1 при $x = 19$ и равно 2 при $x = 62$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что такие целые коэффициенты $a, b, c, d$ существуют.

Обозначим многочлен как $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

По условию задачи мы имеем два равенства:

1. $P(19) = a \cdot 19^3 + b \cdot 19^2 + c \cdot 19 + d = 1$

2. $P(62) = a \cdot 62^3 + b \cdot 62^2 + c \cdot 62 + d = 2$

Рассмотрим разность $P(62) - P(19)$. С одной стороны, она равна:

$P(62) - P(19) = 2 - 1 = 1$

С другой стороны, выразим эту разность через коэффициенты многочлена:

$P(62) - P(19) = (a \cdot 62^3 + b \cdot 62^2 + c \cdot 62 + d) - (a \cdot 19^3 + b \cdot 19^2 + c \cdot 19 + d)$

$P(62) - P(19) = a(62^3 - 19^3) + b(62^2 - 19^2) + c(62 - 19)$

Воспользуемся формулами разности кубов и разности квадратов:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Подставим их в наше выражение:

$P(62) - P(19) = a(62 - 19)(62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) + b(62 - 19)(62 + 19) + c(62 - 19)$

Вынесем общий множитель $(62 - 19)$ за скобки:

$P(62) - P(19) = (62 - 19)[a(62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) + b(62 + 19) + c]$

Вычислим разность в первой скобке:

$62 - 19 = 43$

Таким образом, получаем:

$P(62) - P(19) = 43 \cdot [a(62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) + b(62 + 19) + c]$

Поскольку $a, b, c$ — целые числа по условию, и все операции (сложение, умножение) производятся над целыми числами (19, 62), то выражение в квадратных скобках является целым числом. Обозначим это целое число как $K$.

Тогда $P(62) - P(19) = 43 \cdot K$, где $K$ — некоторое целое число.

Это означает, что разность $P(62) - P(19)$ должна делиться нацело на 43.

Однако мы ранее выяснили, что $P(62) - P(19) = 1$.

Получается, что 1 должно делиться нацело на 43. Но это неверно.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что такие целые коэффициенты $a, b, c, d$ существуют, было ложным.

Ответ: Не существует многочлена с целыми коэффициентами $a, b, c, d$, который удовлетворял бы заданным условиям, что и требовалось доказать.