Номер 1210, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1210, страница 234.

Условие.

1210. Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n \in \mathbb{N}$.

Требуется доказать, что разность их кубов, то есть $(n+1)^3 - n^3$, при делении на 6 даёт остаток 1.

Раскроем это выражение, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3$

Упростим, сократив $n^3$:

$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$

Вынесем общий множитель $3n$ за скобки в первых двух слагаемых:

$3n(n+1) + 1$

Чтобы доказать, что это выражение при делении на 6 даёт остаток 1, необходимо показать, что слагаемое $3n(n+1)$ делится на 6 без остатка.

Рассмотрим произведение $n(n+1)$. Это произведение двух последовательных натуральных чисел. В любой паре последовательных чисел одно всегда является чётным. Следовательно, их произведение $n(n+1)$ всегда делится на 2.

Таким образом, выражение $3n(n+1)$ имеет множитель 3 и множитель 2 (поскольку $n(n+1)$ делится на 2). Если число делится на 2 и на 3, которые являются взаимно простыми числами, то оно делится и на их произведение, то есть на $2 \times 3 = 6$.

Итак, мы доказали, что $3n(n+1)$ всегда кратно 6. Это означает, что $3n(n+1)$ можно представить в виде $6k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это в наше выражение для разности кубов:

$(n+1)^3 - n^3 = 6k + 1$

Выражение вида $6k + 1$ по определению деления с остатком при делении на 6 даёт остаток 1. Что и требовалось доказать.

Ответ: Разность кубов двух последовательных натуральных чисел $(n+1)^3 - n^3$ преобразуется к виду $3n(n+1)+1$. Произведение двух последовательных чисел $n(n+1)$ всегда является чётным, то есть делится на 2. Следовательно, слагаемое $3n(n+1)$ делится на $3 \times 2 = 6$. Таким образом, всю разность можно представить в виде $6k+1$, где $k$ — целое число. Такое выражение при делении на 6 даёт остаток 1.