Номер 1206, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1206, страница 233.

Условие.

1206. Представьте выражение $2x^2 + 2y^2$ в виде суммы двух квадратов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы представить выражение $2x^2 + 2y^2$ в виде суммы двух квадратов, необходимо выполнить ряд алгебраических преобразований.

Сначала представим каждый член выражения как сумму двух одинаковых слагаемых: $2x^2 = x^2 + x^2$ и $2y^2 = y^2 + y^2$.
Таким образом, исходное выражение можно записать в виде: $2x^2 + 2y^2 = x^2 + x^2 + y^2 + y^2$.

Далее, воспользуемся методом добавления и вычитания одного и того же слагаемого. Добавим и вычтем $2xy$. Значение выражения при этом не изменится: $x^2 + x^2 + y^2 + y^2 = (x^2 + x^2 + y^2 + y^2 + 2xy) - 2xy$.

Теперь перегруппируем слагаемые так, чтобы можно было применить формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:
Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сгруппируем наши слагаемые следующим образом: $(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)$.

Первая группа слагаемых $(x^2 + 2xy + y^2)$ является полным квадратом суммы $(x+y)^2$.

Вторая группа слагаемых $(x^2 - 2xy + y^2)$ является полным квадратом разности $(x-y)^2$.

Следовательно, исходное выражение можно представить как сумму этих двух квадратов: $2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2$.

Ответ: $(x+y)^2 + (x-y)^2$.