Номер 1212, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1212, страница 234.

Условие.

1212. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть $n$ — натуральное число, которое не кратно 3. Согласно определению делимости, это означает, что при делении на 3 число $n$ дает в остатке либо 1, либо 2.

Нам необходимо доказать, что выражение $n^2 - 1$ кратно 3, то есть делится на 3 без остатка.

Для доказательства воспользуемся формулой разности квадратов и представим выражение в виде произведения:$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$.

Теперь рассмотрим два возможных случая для числа $n$.

Случай 1: Число $n$ при делении на 3 дает в остатке 1.В этом случае его можно представить в виде $n = 3k + 1$, где $k$ — некоторое неотрицательное целое число.Подставим это значение в один из множителей нашего произведения:$n - 1 = (3k + 1) - 1 = 3k$.Тогда все выражение будет равно $(n - 1)(n + 1) = 3k(n + 1)$.Поскольку один из множителей этого произведения ($3k$) очевидно делится на 3, то и все произведение кратно 3.

Случай 2: Число $n$ при делении на 3 дает в остатке 2.В этом случае его можно представить в виде $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое неотрицательное целое число.Подставим это значение в другой множитель нашего произведения:$n + 1 = (3k + 2) + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)$.Тогда все выражение будет равно $(n - 1)(n + 1) = (n - 1) \cdot 3(k + 1)$.Аналогично первому случаю, один из множителей ($3(k + 1)$) делится на 3, а значит, и все произведение кратно 3.

Мы рассмотрели все возможные варианты для натурального числа, не кратного 3, и в каждом из них разность $n^2 - 1$ оказалась кратной 3.

Ответ: утверждение доказано. Для любого натурального числа $n$, не кратного 3, разность $n^2 - 1$ можно представить в виде произведения $(n-1)(n+1)$. Так как $n$ не делится на 3, то один из сомножителей — либо $(n-1)$, либо $(n+1)$ — обязательно будет делиться на 3. Следовательно, их произведение всегда кратно 3. Что и требовалось доказать.