Номер 1218, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1218, страница 234.

Условие.

1218. При каких значениях a, b, c и d является тождеством равенство

$5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2) + d?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы данное равенство являлось тождеством, оно должно быть верным при любых значениях переменной x. Два многочлена тождественно равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Следовательно, мы раскроем скобки в правой части равенства, приведем подобные члены и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях.

Исходное тождество:

$5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2) + d$

Сначала раскроем выражения в скобках в правой части, используя формулы сокращенного умножения:

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Подставим эти раскрытые выражения обратно в правую часть равенства:

$a(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + b(x^2 - 4x + 4) + c(x - 2) + d$

Теперь раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням x:

$ax^3 - 6ax^2 + 12ax - 8a + bx^2 - 4bx + 4b + cx - 2c + d$

Сгруппированный многочлен в правой части имеет вид:

$ax^3 + (-6a + b)x^2 + (12a - 4b + c)x + (-8a + 4b - 2c + d)$

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x у многочлена в левой части ($5x^3 - 32x^2 + 75x - 71$) и у полученного многочлена в правой части. Это дает нам систему уравнений.

Коэффициент при $x^3$: $a = 5$

Коэффициент при $x^2$: $-6a + b = -32$

Коэффициент при $x$: $12a - 4b + c = 75$

Свободный член: $-8a + 4b - 2c + d = -71$

Решим эту систему последовательно.

Из первого уравнения мы сразу имеем $a = 5$.

Подставим $a = 5$ во второе уравнение, чтобы найти $b$:

$-6(5) + b = -32$

$-30 + b = -32$

$b = -2$

Подставим $a = 5$ и $b = -2$ в третье уравнение, чтобы найти $c$:

$12(5) - 4(-2) + c = 75$

$60 + 8 + c = 75$

$68 + c = 75$

$c = 7$

Наконец, подставим $a = 5$, $b = -2$ и $c = 7$ в четвертое уравнение, чтобы найти $d$:

$-8(5) + 4(-2) - 2(7) + d = -71$

$-40 - 8 - 14 + d = -71$

$-62 + d = -71$

$d = -9$

Таким образом, мы определили все искомые коэффициенты.

Ответ: $a=5, b=-2, c=7, d=-9$.