Номер 1214, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1214, страница 234.

Условие.

1214. Докажите, что уравнение $x^2 - y^2 = 30$ не имеет целых решений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для доказательства того, что уравнение $x^2 - y^2 = 30$ не имеет решений в целых числах, можно использовать два разных подхода.

Способ 1: Анализ четности множителей

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = 30$.

Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то их разность $(x-y)$ и сумма $(x+y)$ также являются целыми числами. Обозначим их как $a = x-y$ и $b = x+y$. Тогда $a \cdot b = 30$.

Выразим $x$ и $y$ через $a$ и $b$:$x = \frac{(x+y) + (x-y)}{2} = \frac{b+a}{2}$,$y = \frac{(x+y) - (x-y)}{2} = \frac{b-a}{2}$.

Для того чтобы $x$ и $y$ были целыми, необходимо, чтобы суммы $a+b$ и $b-a$ были четными. Это условие выполняется только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковую четность (то есть оба являются четными или оба являются нечетными).

Рассмотрим произведение $a \cdot b = 30$. Если бы $a$ и $b$ были оба нечетные, то их произведение $a \cdot b$ также было бы нечетным. Но 30 — четное число, поэтому этот случай невозможен.Если бы $a$ и $b$ были оба четные, то их произведение $a \cdot b$ должно было бы делиться на 4 (так как если $a=2k$ и $b=2m$, то $a \cdot b = 4km$). Однако число 30 на 4 без остатка не делится ($30 = 4 \cdot 7 + 2$). Следовательно, этот случай также невозможен.

Таким образом, множители $a$ и $b$ должны иметь разную четность (один четный, другой нечетный), чтобы их произведение было равно 30. Но в этом случае их сумма $a+b$ будет нечетной, а значит $x = \frac{a+b}{2}$ не будет целым числом. Полученное противоречие доказывает, что целочисленных решений у уравнения нет.

Способ 2: Сравнение по модулю 4

Рассмотрим уравнение в целых числах с точки зрения арифметики остатков. Возьмем остатки от деления обеих частей уравнения на 4.$x^2 - y^2 \equiv 30 \pmod{4}$.

Правая часть: $30 = 4 \cdot 7 + 2$, следовательно, $30 \equiv 2 \pmod{4}$. Уравнение принимает вид: $x^2 - y^2 \equiv 2 \pmod{4}$.

Теперь проанализируем левую часть. Квадрат любого целого числа $n$ при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1. Если $n$ — четное число ($n=2k$), то $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$. Если $n$ — нечетное число ($n=2k+1$), то $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 \equiv 1 \pmod{4}$.

Рассмотрим все возможные комбинации остатков для $x^2 - y^2 \pmod{4}$: $0 - 0 \equiv 0$; $1 - 0 \equiv 1$; $0 - 1 \equiv -1 \equiv 3$; $1 - 1 \equiv 0$. Таким образом, разность квадратов двух любых целых чисел при делении на 4 может давать в остатке только 0, 1 или 3. Остаток 2 невозможен.

Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения $x^2 - y^2$ не может быть сравнима с 2 по модулю 4, в то время как правая часть $30$ сравнима с 2 по модулю 4. Это означает, что равенство $x^2 - y^2 = 30$ невозможно в целых числах.

Ответ: Доказано, что уравнение $x^2 - y^2 = 30$ не имеет решений в целых числах.