Номер 1213, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1213, страница 234.

Условие.

1213. Упростите выражение

$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Исходное выражение: $P = (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
Чтобы применить формулу, нам не хватает множителя $(2-1)$. Умножим и разделим выражение на $(2-1)$. Так как $(2-1) = 1$, значение выражения не изменится.
$P = (2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
Теперь будем последовательно применять формулу разности квадратов:
1. Свернем первые два множителя: $(2 - 1)(2 + 1) = 2^2 - 1^2 = 2^2 - 1$.
Выражение примет вид:
$P = (2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
2. Снова применим формулу к первым двум множителям: $(2^2 - 1)(2^2 + 1) = (2^2)^2 - 1^2 = 2^4 - 1$.
Выражение станет таким:
$P = (2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
3. Продолжая эту последовательность, получаем:
$(2^4 - 1)(2^4 + 1) = (2^4)^2 - 1^2 = 2^8 - 1$.
$P = (2^8 - 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
4. Следующий шаг:
$(2^8 - 1)(2^8 + 1) = (2^8)^2 - 1^2 = 2^{16} - 1$.
$P = (2^{16} - 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
5. И далее:
$(2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = (2^{16})^2 - 1^2 = 2^{32} - 1$.
$P = (2^{32} - 1)(2^{32} + 1)$.
6. Наконец, последний шаг:
$(2^{32} - 1)(2^{32} + 1) = (2^{32})^2 - 1^2 = 2^{64} - 1$.
Таким образом, мы упростили исходное выражение.
Ответ: $2^{64} - 1$.