Номер 1211, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1211, страница 234.

Условие.

1211. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть у нас есть пять последовательных натуральных чисел. Для удобства вычислений обозначим среднее из них через $n$. Тогда эти числа можно записать в виде: $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$. Чтобы все числа в этой последовательности были натуральными (то есть $\ge 1$), необходимо, чтобы выполнялось условие $n-2 \ge 1$, что означает $n \ge 3$.

Найдем сумму квадратов этих пяти чисел. Обозначим эту сумму как $S$: $S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: $S = (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Обратим внимание, что члены, содержащие $n$ в первой степени, взаимно уничтожаются: $S = (n^2+n^2+n^2+n^2+n^2) + (-4n-2n+2n+4n) + (4+1+1+4)$
$S = 5n^2 + 0 + 10$
$S = 5n^2 + 10$

Нам нужно доказать, что полученная сумма $S$ не может быть квадратом натурального числа. Докажем это методом от противного. Предположим, что существует такое натуральное число $k$, что $S$ является его квадратом: $5n^2 + 10 = k^2$

Вынесем общий множитель 5 в левой части равенства: $5(n^2 + 2) = k^2$

Из этого уравнения видно, что $k^2$ делится на 5. Так как 5 является простым числом, то если квадрат числа делится на 5, то и само число должно делиться на 5. Следовательно, $k$ можно представить в виде $k = 5m$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Подставим это выражение для $k$ обратно в наше уравнение: $5(n^2 + 2) = (5m)^2$
$5(n^2 + 2) = 25m^2$

Разделим обе части уравнения на 5: $n^2 + 2 = 5m^2$

Рассмотрим это уравнение с точки зрения теории остатков (сравнений по модулю 5). Правая часть уравнения, $5m^2$, всегда делится на 5 нацело, поэтому ее остаток от деления на 5 равен 0. Следовательно, левая часть также должна давать остаток 0 при делении на 5: $n^2 + 2 \equiv 0 \pmod{5}$

Из этого сравнения следует: $n^2 \equiv -2 \pmod{5}$
Что то же самое, что и: $n^2 \equiv 3 \pmod{5}$

Теперь выясним, какие остатки может давать квадрат любого натурального числа при делении на 5. Для этого проверим все возможные остатки для самого числа $n$ (0, 1, 2, 3, 4):

• Если $n \equiv 0 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 3 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv 4 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 4 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$.

Таким образом, мы видим, что квадрат любого целого (и натурального) числа при делении на 5 может давать в остатке только 0, 1 или 4. Остаток 3 невозможен.

Мы пришли к противоречию: из нашего предположения о том, что сумма является квадратом, следует, что $n^2$ должен давать остаток 3 при делении на 5, но мы показали, что это невозможно ни для какого натурального числа $n$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.