Номер 1225, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1225, страница 235.

Условие.

1225. Путь от А до В идёт 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь — за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ км/ч – это скорость мотоциклиста в гору, а $y$ км/ч – скорость мотоциклиста под гору. Согласно условию, скорость на ровном месте составляет 18 км/ч.

1. Составление первого уравнения (путь из A в B)

Путь из А в В состоит из 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровной дороге. Общее время в пути составляет 1 час 7 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $1 \text{ ч } 7 \text{ мин} = 1 + \frac{7}{60} = \frac{67}{60}$ часа.

Время движения на каждом участке вычисляется по формуле $t = S/v$. Сумма времени на всех участках равна общему времени. Составим первое уравнение:

$\frac{3}{x} + \frac{6}{y} + \frac{12}{18} = \frac{67}{60}$

Упростим известное слагаемое $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ и перенесем его в правую часть уравнения:

$\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{67}{60} - \frac{2}{3}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 60:

$\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{67}{60} - \frac{40}{60} = \frac{27}{60}$

Сократим полученную дробь $\frac{27}{60}$ на 3, получим $\frac{9}{20}$. Таким образом, первое уравнение системы имеет вид:

$\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{9}{20}$

2. Составление второго уравнения (обратный путь из B в A)

На обратном пути из В в А участки меняются: тот, что был "в гору", становится "под гору", и наоборот. Следовательно, путь состоит из 6 км в гору, 3 км под гору и тех же 12 км по ровной дороге. Общее время на обратный путь — 1 час 16 минут. Переведем это время в часы: $1 \text{ ч } 16 \text{ мин} = 1 + \frac{16}{60} = \frac{60+16}{60} = \frac{76}{60}$ часа.

Составим второе уравнение аналогично первому:

$\frac{6}{x} + \frac{3}{y} + \frac{12}{18} = \frac{76}{60}$

Выполним преобразования, аналогичные первому пункту:

$\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{76}{60} - \frac{2}{3}$

$\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{76}{60} - \frac{40}{60} = \frac{36}{60}$

Сократим дробь $\frac{36}{60}$ на 12, получим $\frac{3}{5}$. Второе уравнение системы:

$\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{5}$

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{9}{20} \\ \frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{5} \end{cases}$

Для удобства разделим обе части первого уравнения на 3, а второго – также на 3:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{3}{20} \\ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \end{cases}$

Для решения системы методом сложения умножим второе уравнение на -2:

$-2 \cdot (\frac{2}{x} + \frac{1}{y}) = -2 \cdot \frac{1}{5} \implies -\frac{4}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{2}{5}$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}) + (-\frac{4}{x} - \frac{2}{y}) = \frac{3}{20} - \frac{2}{5}$

$-\frac{3}{x} = \frac{3}{20} - \frac{8}{20} = -\frac{5}{20} = -\frac{1}{4}$

$\frac{3}{x} = \frac{1}{4}$

Отсюда находим $x$: $x = 3 \cdot 4 = 12$. Скорость в гору составляет 12 км/ч.

Теперь подставим значение $x=12$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$:

$\frac{2}{12} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{6} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$

$\frac{1}{y} = \frac{6 - 5}{30} = \frac{1}{30}$

Отсюда $y = 30$. Скорость под гору составляет 30 км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста в гору – 12 км/ч, скорость под гору – 30 км/ч.