Номер 1229, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1229, страница 235.

Условие.

1229. Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта $A$ в пункт $B$. Всадник, прибыв в пункт $B$ на 50 мин раньше пешехода, возвратился обратно в пункт $A$. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от пункта $B$. На весь путь всадник затратил 1 ч 40 мин. Найдите расстояние от $A$ до $B$ и скорость всадника и пешехода.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ – расстояние от пункта А до пункта В (в км), $v_в$ – скорость всадника (в км/ч), $v_п$ – скорость пешехода (в км/ч).

Сначала переведем единицы времени в часы для удобства расчетов: 50 мин = $\frac{50}{60}$ ч = $\frac{5}{6}$ ч; 1 ч 40 мин = $1 + \frac{40}{60}$ ч = $1 + \frac{2}{3}$ ч = $\frac{5}{3}$ ч.

Всадник затратил на весь путь (туда и обратно, т.е. $2S$) $\frac{5}{3}$ часа. Так как его скорость была постоянной, время на путь из А в В ($t_в$) составило половину этого времени: $t_в = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{6}$ часа.

По условию, всадник прибыл в В на $\frac{5}{6}$ часа раньше пешехода. Значит, время пешехода на путь из А в В ($t_п$) равно: $t_п = t_в + \frac{5}{6} = \frac{5}{6} + \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ часа.

Зная время движения каждого на одинаковое расстояние $S$, мы можем найти отношение их скоростей: $\frac{v_в}{v_п} = \frac{S/t_в}{S/t_п} = \frac{t_п}{t_в} = \frac{5/3}{5/6} = 2$.

На обратном пути всадник встретил пешехода в 2 км от пункта В. К моменту встречи всадник проехал $S + 2$ км, а пешеход — $S - 2$ км. Поскольку они вышли одновременно, время до встречи у них одинаковое: $t_{встречи} = \frac{S+2}{v_в} = \frac{S-2}{v_п}$. Отсюда получаем еще одно соотношение для скоростей: $\frac{v_в}{v_п} = \frac{S+2}{S-2}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для отношения скоростей и найдем $S$:

$\frac{S+2}{S-2} = 2 \implies S+2 = 2(S-2) \implies S+2 = 2S-4 \implies S = 6$ км.

Зная расстояние, мы можем найти скорости.

Расстояние от А до В

В результате приведенных выше вычислений было установлено, что расстояние между пунктами А и В составляет 6 км.

Ответ: 6 км.

Скорость всадника

Скорость всадника найдем, разделив общее пройденное им расстояние ($2S = 12$ км) на общее время в пути ($\frac{5}{3}$ ч).

$v_в = \frac{2S}{t_{общ}} = \frac{12 \text{ км}}{5/3 \text{ ч}} = 12 \cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{5} = 7,2$ км/ч.

Ответ: 7,2 км/ч.

Скорость пешехода

Скорость пешехода можно найти, зная, что она в два раза меньше скорости всадника ($v_п = v_в / 2$), или разделив расстояние $S$ на время пешехода $t_п$.

$v_п = \frac{S}{t_п} = \frac{6 \text{ км}}{5/3 \text{ ч}} = 6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5} = 3,6$ км/ч.

Ответ: 3,6 км/ч.