Номер 1228, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1228, страница 235.

Условие.

1228. Из города А в город В в 8 ч 50 мин вышли два автобуса. В то же время из города В в город А выехал велосипедист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой — в 10 ч 50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите скорость велосипедиста, если скорость одного автобуса в $1\frac{5}{7}$ раза больше скорости другого.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Обозначим скорости автобусов как $v_1$ и $v_2$ (в км/ч), а скорость велосипедиста как $v_в$ (в км/ч). Расстояние между городами A и B составляет $S = 100$ км.

Все участники движения (два автобуса и велосипедист) начали движение одновременно в 8 ч 50 мин. Автобусы ехали из города А в город В, а велосипедист — из города В в город А, то есть они двигались навстречу друг другу.

Найдем время движения до каждой встречи:

• Время до первой встречи: велосипедист встретил первый автобус в 10 ч 10 мин. Время в пути $t_1$ составляет: $t_1 = 10 \text{ ч } 10 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 20 \text{ мин}$. Переведем это время в часы: $t_1 = 1 + \frac{20}{60} = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ часа.
• Время до второй встречи: велосипедист встретил второй автобус в 10 ч 50 мин. Время в пути $t_2$ составляет: $t_2 = 10 \text{ ч } 50 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 2$ часа.

По условию, скорость одного автобуса в $1\frac{5}{7}$ раза больше скорости другого. Пусть $v_{медл}$ — скорость более медленного автобуса, а $v_{быстр}$ — скорость более быстрого.Тогда $v_{быстр} = 1\frac{5}{7} \cdot v_{медл} = \frac{12}{7} v_{медл}$.

При движении навстречу время до встречи обратно пропорционально сумме скоростей (скорости сближения). Чем выше скорость сближения, тем меньше времени потребуется для встречи.Скорость сближения с быстрым автобусом $(v_{быстр} + v_в)$ больше, чем с медленным $(v_{медл} + v_в)$.Следовательно, встреча с быстрым автобусом произошла раньше (через время $t_1 = \frac{4}{3}$ ч), а с медленным — позже (через время $t_2 = 2$ ч).

В момент встречи суммарное расстояние, пройденное автобусом и велосипедистом, равно расстоянию между городами. Составим систему уравнений:

1. Для встречи с быстрым автобусом: $(v_{быстр} + v_в) \cdot t_1 = S \implies (v_{быстр} + v_в) \cdot \frac{4}{3} = 100$.
2. Для встречи с медленным автобусом: $(v_{медл} + v_в) \cdot t_2 = S \implies (v_{медл} + v_в) \cdot 2 = 100$.
3. Соотношение скоростей автобусов: $v_{быстр} = \frac{12}{7} v_{медл}$.

Решим эту систему. Сначала выразим скорости сближения из первых двух уравнений:

• $v_{быстр} + v_в = \frac{100}{4/3} = \frac{100 \cdot 3}{4} = 75$ (км/ч). Отсюда $v_{быстр} = 75 - v_в$.
• $v_{медл} + v_в = \frac{100}{2} = 50$ (км/ч). Отсюда $v_{медл} = 50 - v_в$.

Теперь подставим полученные выражения для скоростей автобусов в третье уравнение:

$75 - v_в = \frac{12}{7}(50 - v_в)$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 7:

$7 \cdot (75 - v_в) = 12 \cdot (50 - v_в)$

$525 - 7v_в = 600 - 12v_в$

Перенесем слагаемые с $v_в$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$12v_в - 7v_в = 600 - 525$

$5v_в = 75$

$v_в = \frac{75}{5}$

$v_в = 15$

Таким образом, скорость велосипедиста равна 15 км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста 15 км/ч.