Номер 1226, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1226, страница 235.

Условие.

1226. Задача Л. Н. Толстого.

Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения этой классической задачи введем переменные и выразим все условия через них. За единицу работы будем считать объем, который выполняет один косец за половину рабочего дня.

1. Определение переменных и условий

Пусть $N$ — искомое количество косцов в артели.
Пусть $S_Б$ — площадь большого луга, а $S_М$ — площадь малого луга. Эта площадь измеряется в введенных нами единицах работы (человеко-полднях).
Согласно условию, большой луг вдвое больше малого, следовательно: $S_Б = 2 \cdot S_М$.
Рабочий день состоит из двух половин.

2. Расчет объема работы (площади) на каждом лугу

Выразим площади лугов через количество косцов $N$.

Большой луг:
В первую половину дня его косили все $N$ косцов. Выполненный объем работы: $N \cdot 1 = N$ единиц.
Во вторую половину дня его продолжала косить половина артели, то есть $\frac{N}{2}$ косцов. Выполненный объем работы: $\frac{N}{2} \cdot 1 = \frac{N}{2}$ единиц.
К вечеру луг был полностью скошен, значит, его общая площадь составляет сумму работ:
$S_Б = N + \frac{N}{2} = \frac{3N}{2}$ единиц.

Малый луг:
Во вторую половину дня его начала косить вторая половина артели, то есть $\frac{N}{2}$ косцов. Выполненный объем работы: $\frac{N}{2} \cdot 1 = \frac{N}{2}$ единиц.
На следующий день оставшийся участок косил один косец в течение целого дня. Целый день — это две половины дня, поэтому выполненный объем работы равен: $1 \cdot 2 = 2$ единицы.
Таким образом, общая площадь малого луга составляет сумму работ, выполненных на нем:
$S_М = \frac{N}{2} + 2$ единиц.

3. Составление и решение уравнения

Теперь, когда у нас есть выражения для площадей обоих лугов, мы можем использовать их в исходном соотношении $S_Б = 2 \cdot S_М$:

$\frac{3N}{2} = 2 \cdot \left(\frac{N}{2} + 2\right)$

Решим это уравнение относительно $N$:

$\frac{3N}{2} = 2 \cdot \frac{N}{2} + 2 \cdot 2$

$\frac{3N}{2} = N + 4$

Перенесем $N$ в левую часть уравнения:

$\frac{3N}{2} - N = 4$

$\frac{3N - 2N}{2} = 4$

$\frac{N}{2} = 4$

$N = 8$

Таким образом, мы получили, что в артели было 8 косцов. Это число является четным, что согласуется с условием о том, что артель делилась пополам.

4. Проверка

Давайте проверим наше решение, подставив $N=8$ в выражения для площадей:
Площадь большого луга: $S_Б = \frac{3 \cdot 8}{2} = \frac{24}{2} = 12$ единиц работы.
Площадь малого луга: $S_М = \frac{8}{2} + 2 = 4 + 2 = 6$ единиц работы.
Теперь проверим основное условие задачи: $S_Б = 2 \cdot S_М$.
$12 = 2 \cdot 6$.
$12 = 12$.
Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: В артели было 8 косцов.