Страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1225. Путь от А до В идёт 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь — за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ км/ч – это скорость мотоциклиста в гору, а $y$ км/ч – скорость мотоциклиста под гору. Согласно условию, скорость на ровном месте составляет 18 км/ч.

1. Составление первого уравнения (путь из A в B)

Путь из А в В состоит из 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровной дороге. Общее время в пути составляет 1 час 7 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $1 \text{ ч } 7 \text{ мин} = 1 + \frac{7}{60} = \frac{67}{60}$ часа.

Время движения на каждом участке вычисляется по формуле $t = S/v$. Сумма времени на всех участках равна общему времени. Составим первое уравнение:

$\frac{3}{x} + \frac{6}{y} + \frac{12}{18} = \frac{67}{60}$

Упростим известное слагаемое $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ и перенесем его в правую часть уравнения:

$\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{67}{60} - \frac{2}{3}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 60:

$\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{67}{60} - \frac{40}{60} = \frac{27}{60}$

Сократим полученную дробь $\frac{27}{60}$ на 3, получим $\frac{9}{20}$. Таким образом, первое уравнение системы имеет вид:

$\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{9}{20}$

2. Составление второго уравнения (обратный путь из B в A)

На обратном пути из В в А участки меняются: тот, что был "в гору", становится "под гору", и наоборот. Следовательно, путь состоит из 6 км в гору, 3 км под гору и тех же 12 км по ровной дороге. Общее время на обратный путь — 1 час 16 минут. Переведем это время в часы: $1 \text{ ч } 16 \text{ мин} = 1 + \frac{16}{60} = \frac{60+16}{60} = \frac{76}{60}$ часа.

Составим второе уравнение аналогично первому:

$\frac{6}{x} + \frac{3}{y} + \frac{12}{18} = \frac{76}{60}$

Выполним преобразования, аналогичные первому пункту:

$\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{76}{60} - \frac{2}{3}$

$\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{76}{60} - \frac{40}{60} = \frac{36}{60}$

Сократим дробь $\frac{36}{60}$ на 12, получим $\frac{3}{5}$. Второе уравнение системы:

$\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{5}$

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{9}{20} \\ \frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{5} \end{cases}$

Для удобства разделим обе части первого уравнения на 3, а второго – также на 3:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{3}{20} \\ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \end{cases}$

Для решения системы методом сложения умножим второе уравнение на -2:

$-2 \cdot (\frac{2}{x} + \frac{1}{y}) = -2 \cdot \frac{1}{5} \implies -\frac{4}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{2}{5}$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}) + (-\frac{4}{x} - \frac{2}{y}) = \frac{3}{20} - \frac{2}{5}$

$-\frac{3}{x} = \frac{3}{20} - \frac{8}{20} = -\frac{5}{20} = -\frac{1}{4}$

$\frac{3}{x} = \frac{1}{4}$

Отсюда находим $x$: $x = 3 \cdot 4 = 12$. Скорость в гору составляет 12 км/ч.

Теперь подставим значение $x=12$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$:

$\frac{2}{12} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{6} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$

$\frac{1}{y} = \frac{6 - 5}{30} = \frac{1}{30}$

Отсюда $y = 30$. Скорость под гору составляет 30 км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста в гору – 12 км/ч, скорость под гору – 30 км/ч.

1226. Задача Л. Н. Толстого.

Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?

Для решения этой классической задачи введем переменные и выразим все условия через них. За единицу работы будем считать объем, который выполняет один косец за половину рабочего дня.

1. Определение переменных и условий

Пусть $N$ — искомое количество косцов в артели.
Пусть $S_Б$ — площадь большого луга, а $S_М$ — площадь малого луга. Эта площадь измеряется в введенных нами единицах работы (человеко-полднях).
Согласно условию, большой луг вдвое больше малого, следовательно: $S_Б = 2 \cdot S_М$.
Рабочий день состоит из двух половин.

2. Расчет объема работы (площади) на каждом лугу

Выразим площади лугов через количество косцов $N$.

Большой луг:
В первую половину дня его косили все $N$ косцов. Выполненный объем работы: $N \cdot 1 = N$ единиц.
Во вторую половину дня его продолжала косить половина артели, то есть $\frac{N}{2}$ косцов. Выполненный объем работы: $\frac{N}{2} \cdot 1 = \frac{N}{2}$ единиц.
К вечеру луг был полностью скошен, значит, его общая площадь составляет сумму работ:
$S_Б = N + \frac{N}{2} = \frac{3N}{2}$ единиц.

Малый луг:
Во вторую половину дня его начала косить вторая половина артели, то есть $\frac{N}{2}$ косцов. Выполненный объем работы: $\frac{N}{2} \cdot 1 = \frac{N}{2}$ единиц.
На следующий день оставшийся участок косил один косец в течение целого дня. Целый день — это две половины дня, поэтому выполненный объем работы равен: $1 \cdot 2 = 2$ единицы.
Таким образом, общая площадь малого луга составляет сумму работ, выполненных на нем:
$S_М = \frac{N}{2} + 2$ единиц.

3. Составление и решение уравнения

Теперь, когда у нас есть выражения для площадей обоих лугов, мы можем использовать их в исходном соотношении $S_Б = 2 \cdot S_М$:

$\frac{3N}{2} = 2 \cdot \left(\frac{N}{2} + 2\right)$

Решим это уравнение относительно $N$:

$\frac{3N}{2} = 2 \cdot \frac{N}{2} + 2 \cdot 2$

$\frac{3N}{2} = N + 4$

Перенесем $N$ в левую часть уравнения:

$\frac{3N}{2} - N = 4$

$\frac{3N - 2N}{2} = 4$

$\frac{N}{2} = 4$

$N = 8$

Таким образом, мы получили, что в артели было 8 косцов. Это число является четным, что согласуется с условием о том, что артель делилась пополам.

4. Проверка

Давайте проверим наше решение, подставив $N=8$ в выражения для площадей:
Площадь большого луга: $S_Б = \frac{3 \cdot 8}{2} = \frac{24}{2} = 12$ единиц работы.
Площадь малого луга: $S_М = \frac{8}{2} + 2 = 4 + 2 = 6$ единиц работы.
Теперь проверим основное условие задачи: $S_Б = 2 \cdot S_М$.
$12 = 2 \cdot 6$.
$12 = 12$.
Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: В артели было 8 косцов.

1227. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин вышли навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус вышел на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_а$ — скорость автобуса в км/ч, а $v_л$ — скорость легкового автомобиля в км/ч. Расстояние между городами А и В составляет $S = 180$ км.

1. Анализ первого условия (фактическая поездка)
Автобус и автомобиль выехали одновременно в 6 ч 20 мин и встретились в 7 ч 50 мин. Найдем общее время их движения до встречи:
$t_1 = 7 \text{ ч } 50 \text{ мин } - 6 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин }$
Переведем это время в часы: $1 \text{ ч } 30 \text{ мин } = 1.5 \text{ часа}$.
При движении навстречу друг другу их скорости складываются. Расстояние, которое они проехали вместе, равно $S$. Составим первое уравнение, используя формулу $S = v \cdot t$:
$(v_а + v_л) \cdot t_1 = S$
$(v_а + v_л) \cdot 1.5 = 180$
Разделим обе части уравнения на 1.5:
$v_а + v_л = \frac{180}{1.5}$
$v_а + v_л = 120$ (1)

2. Анализ второго условия (гипотетическая поездка)
Если бы автобус выехал на 1 ч 15 мин раньше, то его время отправления было бы:
$6 \text{ ч } 20 \text{ мин } - 1 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 5 \text{ ч } 05 \text{ мин}$.
Если бы легковой автомобиль выехал на 15 мин позже, то его время отправления было бы:
$6 \text{ ч } 20 \text{ мин } + 15 \text{ мин } = 6 \text{ ч } 35 \text{ мин}$.
В этом случае они встретились бы в 7 ч 35 мин.
Найдем время в пути для каждого:
Время в пути автобуса: $t_а = 7 \text{ ч } 35 \text{ мин } - 5 \text{ ч } 05 \text{ мин } = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин } = 2.5 \text{ часа}$.
Время в пути легкового автомобиля: $t_л = 7 \text{ ч } 35 \text{ мин } - 6 \text{ ч } 35 \text{ мин } = 1 \text{ час}$.
Сумма расстояний, пройденных автобусом ($S_а = v_а \cdot t_а$) и легковым автомобилем ($S_л = v_л \cdot t_л$), равна общему расстоянию $S$:
$v_а \cdot t_а + v_л \cdot t_л = S$
$v_а \cdot 2.5 + v_л \cdot 1 = 180$
$2.5v_а + v_л = 180$ (2)

3. Решение системы уравнений
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} v_а + v_л = 120 \\ 2.5v_а + v_л = 180 \end{cases}$
Удобно вычесть первое уравнение из второго, чтобы избавиться от переменной $v_л$:
$(2.5v_а + v_л) - (v_а + v_л) = 180 - 120$
$1.5v_а = 60$
$v_а = \frac{60}{1.5}$
$v_а = 40$ (км/ч) — скорость автобуса.
Теперь подставим найденное значение $v_а$ в первое уравнение, чтобы найти $v_л$:
$40 + v_л = 120$
$v_л = 120 - 40$
$v_л = 80$ (км/ч) — скорость легкового автомобиля.

Ответ: Скорость автобуса — 40 км/ч, скорость легкового автомобиля — 80 км/ч.

1228. Из города А в город В в 8 ч 50 мин вышли два автобуса. В то же время из города В в город А выехал велосипедист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой — в 10 ч 50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите скорость велосипедиста, если скорость одного автобуса в $1\frac{5}{7}$ раза больше скорости другого.

Обозначим скорости автобусов как $v_1$ и $v_2$ (в км/ч), а скорость велосипедиста как $v_в$ (в км/ч). Расстояние между городами A и B составляет $S = 100$ км.

Все участники движения (два автобуса и велосипедист) начали движение одновременно в 8 ч 50 мин. Автобусы ехали из города А в город В, а велосипедист — из города В в город А, то есть они двигались навстречу друг другу.

Найдем время движения до каждой встречи:

• Время до первой встречи: велосипедист встретил первый автобус в 10 ч 10 мин. Время в пути $t_1$ составляет: $t_1 = 10 \text{ ч } 10 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 20 \text{ мин}$. Переведем это время в часы: $t_1 = 1 + \frac{20}{60} = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ часа.
• Время до второй встречи: велосипедист встретил второй автобус в 10 ч 50 мин. Время в пути $t_2$ составляет: $t_2 = 10 \text{ ч } 50 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 2$ часа.

По условию, скорость одного автобуса в $1\frac{5}{7}$ раза больше скорости другого. Пусть $v_{медл}$ — скорость более медленного автобуса, а $v_{быстр}$ — скорость более быстрого.Тогда $v_{быстр} = 1\frac{5}{7} \cdot v_{медл} = \frac{12}{7} v_{медл}$.

При движении навстречу время до встречи обратно пропорционально сумме скоростей (скорости сближения). Чем выше скорость сближения, тем меньше времени потребуется для встречи.Скорость сближения с быстрым автобусом $(v_{быстр} + v_в)$ больше, чем с медленным $(v_{медл} + v_в)$.Следовательно, встреча с быстрым автобусом произошла раньше (через время $t_1 = \frac{4}{3}$ ч), а с медленным — позже (через время $t_2 = 2$ ч).

В момент встречи суммарное расстояние, пройденное автобусом и велосипедистом, равно расстоянию между городами. Составим систему уравнений:

1. Для встречи с быстрым автобусом: $(v_{быстр} + v_в) \cdot t_1 = S \implies (v_{быстр} + v_в) \cdot \frac{4}{3} = 100$.
2. Для встречи с медленным автобусом: $(v_{медл} + v_в) \cdot t_2 = S \implies (v_{медл} + v_в) \cdot 2 = 100$.
3. Соотношение скоростей автобусов: $v_{быстр} = \frac{12}{7} v_{медл}$.

Решим эту систему. Сначала выразим скорости сближения из первых двух уравнений:

• $v_{быстр} + v_в = \frac{100}{4/3} = \frac{100 \cdot 3}{4} = 75$ (км/ч). Отсюда $v_{быстр} = 75 - v_в$.
• $v_{медл} + v_в = \frac{100}{2} = 50$ (км/ч). Отсюда $v_{медл} = 50 - v_в$.

Теперь подставим полученные выражения для скоростей автобусов в третье уравнение:

$75 - v_в = \frac{12}{7}(50 - v_в)$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 7:

$7 \cdot (75 - v_в) = 12 \cdot (50 - v_в)$

$525 - 7v_в = 600 - 12v_в$

Перенесем слагаемые с $v_в$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$12v_в - 7v_в = 600 - 525$

$5v_в = 75$

$v_в = \frac{75}{5}$

$v_в = 15$

Таким образом, скорость велосипедиста равна 15 км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста 15 км/ч.

1229. Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта $A$ в пункт $B$. Всадник, прибыв в пункт $B$ на 50 мин раньше пешехода, возвратился обратно в пункт $A$. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от пункта $B$. На весь путь всадник затратил 1 ч 40 мин. Найдите расстояние от $A$ до $B$ и скорость всадника и пешехода.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ – расстояние от пункта А до пункта В (в км), $v_в$ – скорость всадника (в км/ч), $v_п$ – скорость пешехода (в км/ч).

Сначала переведем единицы времени в часы для удобства расчетов: 50 мин = $\frac{50}{60}$ ч = $\frac{5}{6}$ ч; 1 ч 40 мин = $1 + \frac{40}{60}$ ч = $1 + \frac{2}{3}$ ч = $\frac{5}{3}$ ч.

Всадник затратил на весь путь (туда и обратно, т.е. $2S$) $\frac{5}{3}$ часа. Так как его скорость была постоянной, время на путь из А в В ($t_в$) составило половину этого времени: $t_в = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{6}$ часа.

По условию, всадник прибыл в В на $\frac{5}{6}$ часа раньше пешехода. Значит, время пешехода на путь из А в В ($t_п$) равно: $t_п = t_в + \frac{5}{6} = \frac{5}{6} + \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ часа.

Зная время движения каждого на одинаковое расстояние $S$, мы можем найти отношение их скоростей: $\frac{v_в}{v_п} = \frac{S/t_в}{S/t_п} = \frac{t_п}{t_в} = \frac{5/3}{5/6} = 2$.

На обратном пути всадник встретил пешехода в 2 км от пункта В. К моменту встречи всадник проехал $S + 2$ км, а пешеход — $S - 2$ км. Поскольку они вышли одновременно, время до встречи у них одинаковое: $t_{встречи} = \frac{S+2}{v_в} = \frac{S-2}{v_п}$. Отсюда получаем еще одно соотношение для скоростей: $\frac{v_в}{v_п} = \frac{S+2}{S-2}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для отношения скоростей и найдем $S$:

$\frac{S+2}{S-2} = 2 \implies S+2 = 2(S-2) \implies S+2 = 2S-4 \implies S = 6$ км.

Зная расстояние, мы можем найти скорости.

В результате приведенных выше вычислений было установлено, что расстояние между пунктами А и В составляет 6 км.

Ответ: 6 км.

Скорость всадника найдем, разделив общее пройденное им расстояние ($2S = 12$ км) на общее время в пути ($\frac{5}{3}$ ч).

$v_в = \frac{2S}{t_{общ}} = \frac{12 \text{ км}}{5/3 \text{ ч}} = 12 \cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{5} = 7,2$ км/ч.

Ответ: 7,2 км/ч.

Скорость пешехода можно найти, зная, что она в два раза меньше скорости всадника ($v_п = v_в / 2$), или разделив расстояние $S$ на время пешехода $t_п$.

$v_п = \frac{S}{t_п} = \frac{6 \text{ км}}{5/3 \text{ ч}} = 6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5} = 3,6$ км/ч.

Ответ: 3,6 км/ч.

1230. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели был на воздухе?

Для решения этой задачи необходимо исходить из того, что масса абсолютно сухого угля остается постоянной. Изменяется только количество воды, которое уголь впитывает из воздуха, что приводит к изменению общей массы.

1. Сначала найдем массу сухого вещества в исходной тонне угля.Начальная масса угля составляет 1 тонну, что равно $1000$ кг. Содержание воды в нем — $2\%$.Масса воды в начальном угле: $m_{\text{воды1}} = 1000 \text{ кг} \times \frac{2}{100} = 20 \text{ кг}$.Следовательно, масса сухого угля, которая не будет меняться, равна:$m_{\text{сухой}} = 1000 \text{ кг} - 20 \text{ кг} = 980 \text{ кг}$.

2. Теперь определим новую общую массу угля.После двух недель пребывания на воздухе содержание воды в угле составило $12\%$. Это означает, что доля сухого вещества ($980$ кг) в новой общей массе составляет $100\% - 12\% = 88\%$.Пусть $M_{\text{новая}}$ — новая общая масса угля. Тогда можно составить уравнение:$M_{\text{новая}} \times 0.88 = 980 \text{ кг}$.

Найдем новую массу:$M_{\text{новая}} = \frac{980}{0.88} = \frac{98000}{88} = \frac{12250}{11} \text{ кг}$.

3. Вычислим, на сколько килограммов увеличилась масса угля.Для этого вычтем из новой массы начальную:$\Delta m = M_{\text{новая}} - M_{\text{начальная}} = \frac{12250}{11} \text{ кг} - 1000 \text{ кг}$.Приведем $1000$ к знаменателю $11$:$\Delta m = \frac{12250}{11} - \frac{11000}{11} = \frac{12250 - 11000}{11} = \frac{1250}{11} \text{ кг}$.

Для наглядности можно представить ответ в виде десятичной дроби:$\frac{1250}{11} \approx 113,6363... \text{ кг} \approx 113,64 \text{ кг}$.

Ответ: масса добытой тонны угля увеличилась на $\frac{1250}{11}$ кг (или примерно на $113,64$ кг).

1231. Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы первый побежал в школу и, добежав до неё, немедленно бросился догонять второго. Оставшись один, второй продолжал идти домой в 2 раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?

Для решения задачи введем следующие обозначения:$v_x$ – обычная скорость ходьбы братьев.$v_б$ – скорость бега первого брата.Искомая величина – это отношение $k = \frac{v_б}{v_x}$.Все расчеты будем вести в минутах.

1. За первые 15 минут братья, идя вместе со скоростью $v_x$, отошли от школы на расстояние $S_1 = 15 \cdot v_x$.

2. После этого первый брат побежал обратно к школе. Время, которое он на это затратил, составляет:$t_{назад} = \frac{S_1}{v_б} = \frac{15 \cdot v_x}{k \cdot v_x} = \frac{15}{k}$ минут.

3. Пока первый брат бежал обратно, второй продолжал идти домой, но с вдвое меньшей скоростью, то есть $\frac{v_x}{2}$. За время $t_{назад}$ он прошел дополнительное расстояние:$S_2 = \frac{v_x}{2} \cdot t_{назад} = \frac{v_x}{2} \cdot \frac{15}{k} = \frac{15 v_x}{2k}$.К моменту, когда первый брат вернулся в школу, второй брат находился от нее на расстоянии $S_{разрыва} = S_1 + S_2 = 15 v_x + \frac{15 v_x}{2k} = 15 v_x (1 + \frac{1}{2k})$.

4. Затем первый брат начал догонять второго. Скорость их сближения была равна разности их скоростей: $v_{сбл} = v_б - \frac{v_x}{2} = k v_x - \frac{v_x}{2} = v_x (k - \frac{1}{2})$. Время, которое потребовалось на погоню до момента встречи, равно:$t_{погони} = \frac{S_{разрыва}}{v_{сбл}} = \frac{15 v_x (1 + \frac{1}{2k})}{v_x (k - \frac{1}{2})} = \frac{15 \frac{2k+1}{2k}}{\frac{2k-1}{2}} = \frac{15(2k+1)}{k(2k-1)}$ минут.

5. Найдем общее время с момента выхода из школы до момента встречи братьев ($t_{встречи}$). Оно равно сумме всех временных отрезков:$t_{встречи} = 15 + t_{назад} + t_{погони} = 15 + \frac{15}{k} + \frac{15(2k+1)}{k(2k-1)}$.Приведем к общему знаменателю второе и третье слагаемые:$t_{встречи} = 15 + \frac{15(2k-1) + 15(2k+1)}{k(2k-1)} = 15 + \frac{30k-15+30k+15}{k(2k-1)} = 15 + \frac{60k}{k(2k-1)} = 15 + \frac{60}{2k-1}$ минут.

6. Место встречи находится на расстоянии $S_{встречи}$ от школы. Это расстояние первый брат пробежал от школы за время $t_{погони}$ со скоростью $v_б$:$S_{встречи} = v_б \cdot t_{погони} = k v_x \cdot \frac{15(2k+1)}{k(2k-1)} = \frac{15 v_x (2k+1)}{2k-1}$.

7. Если бы братья все время шли с обычной скоростью $v_x$, то они бы дошли до места встречи за время:$t_{норм} = \frac{S_{встречи}}{v_x} = \frac{15(2k+1)}{2k-1}$ минут.

8. По условию, братья пришли домой на 6 минут позже обычного. Это опоздание накопилось за время до их встречи, так как после встречи они шли вместе с первоначальной скоростью. Следовательно, разница между фактическим временем движения до точки встречи и нормальным временем движения до этой же точки составляет 6 минут:$t_{встречи} - t_{норм} = 6$.Подставим полученные выражения в это уравнение:$(15 + \frac{60}{2k-1}) - (\frac{15(2k+1)}{2k-1}) = 6$.Приведем левую часть к общему знаменателю $(2k-1)$:$\frac{15(2k-1) + 60 - 15(2k+1)}{2k-1} = 6$.Раскроем скобки в числителе:$\frac{30k - 15 + 60 - 30k - 15}{2k-1} = 6$.$\frac{30}{2k-1} = 6$.$30 = 6 \cdot (2k-1)$.$30 = 12k - 6$.$36 = 12k$.$k = 3$.

Ответ: Скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев в 3 раза.