Номер 1224, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1224, страница 234.

Условие.

1224. Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения $x + y = 26$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Необходимо найти все пары простых чисел $x$ и $y$, для которых выполняется равенство $x + y = 26$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Сумма $x+y$ равна 26, что является чётным числом. Сумма двух простых чисел чётна в двух случаях:

1. 1. Оба числа чётные. Единственное чётное простое число — это 2. В этом случае $x+y = 2+2=4$, что не равно 26.
2. 2. Оба числа нечётные. Этот случай нам подходит. Следовательно, нам нужно найти пары нечётных простых чисел, сумма которых равна 26.

Будем последовательно перебирать пары, где первое число — нечётное простое, и проверять, является ли второе число также простым. Выразим $y$ из уравнения: $y = 26 - x$.

Проверим по порядку нечётные простые числа для $x$:

• Если $x=3$, то $y = 26 - 3 = 23$. Число 23 является простым, значит, пара (3, 23) — решение.

• Если $x=5$, то $y = 26 - 5 = 21$. Число 21 не является простым, так как $21 = 3 \cdot 7$, поэтому эта пара не является решением.

• Если $x=7$, то $y = 26 - 7 = 19$. Число 19 является простым, значит, пара (7, 19) — решение.

• Если $x=11$, то $y = 26 - 11 = 15$. Число 15 не является простым, так как $15 = 3 \cdot 5$, поэтому эта пара не является решением.

• Если $x=13$, то $y = 26 - 13 = 13$. Число 13 является простым, значит, пара (13, 13) — решение.

Дальнейший перебор для $x > 13$ будет давать те же самые пары чисел, но в другом порядке, так как уравнение симметрично ($x+y = y+x$). Например, если $x=19$, то $y=7$, а если $x=23$, то $y=3$. Таким образом, мы нашли все возможные пары.

Полный список пар простых чисел, являющихся решениями уравнения:

Ответ: (3, 23), (7, 19), (13, 13), (19, 7), (23, 3).