Номер 1203, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1203, страница 233.

Условие.

1203. Докажите, что значение выражения $96^7 - 22^5 - 48^6$ кратно 10.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $96^7 - 22^5 - 48^6$ кратно 10, необходимо установить, что последняя цифра этого значения равна 0. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0.

Для этого мы последовательно найдем последнюю цифру каждого члена выражения.

1. Найдем последнюю цифру числа $96^7$.
Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры основания. Основание 96 оканчивается на 6. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также будет оканчиваться на 6.
Например: $6^1 = 6$, $6^2 = 36$, $6^3 = 216$.
Следовательно, последняя цифра числа $96^7$ — это 6.

2. Найдем последнюю цифру числа $22^5$.
Последняя цифра этого числа определяется последней цифрой основания, то есть 2. Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 2:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (последняя цифра 6)
$2^5 = 32$ (последняя цифра 2)
Последние цифры степеней числа 2 повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы найти последнюю цифру для $2^5$, нужно определить, какой по счету в этом цикле она будет. Для этого найдем остаток от деления показателя степени 5 на длину цикла 4: $5 \div 4 = 1$ (остаток 1). Остаток 1 соответствует первому элементу в цикле.
Следовательно, последняя цифра числа $22^5$ — это 2.

3. Найдем последнюю цифру числа $48^6$.
Последняя цифра этого числа определяется последней цифрой основания, то есть 8. Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 8:
$8^1 = 8$
$8^2 = 64$ (последняя цифра 4)
$8^3 = 512$ (последняя цифра 2)
$8^4 = 4096$ (последняя цифра 6)
$8^5 = 32768$ (последняя цифра 8)
Последние цифры степеней числа 8 повторяются с циклом длиной 4: (8, 4, 2, 6). Чтобы найти последнюю цифру для $8^6$, найдем остаток от деления показателя 6 на 4: $6 \div 4 = 1$ (остаток 2). Остаток 2 соответствует второму элементу в цикле.
Следовательно, последняя цифра числа $48^6$ — это 4.

4. Теперь определим последнюю цифру всего выражения $96^7 - 22^5 - 48^6$.
Для этого выполним вычитание, используя только найденные последние цифры: ...6 - ...2 - ...4.
Это эквивалентно вычислению последней цифры числа $(...6 - ...2) - ...4$, что дает ...4 - ...4, и в результате получается число, оканчивающееся на 0.
Или можно записать так: $6 - (2 + 4) = 6 - 6 = 0$.
Таким образом, последняя цифра значения исходного выражения равна 0.

Так как значение выражения оканчивается на 0, оно кратно 10. Доказательство завершено.

Ответ: Поскольку последняя цифра значения выражения $96^7$ равна 6, $22^5$ равна 2, а $48^6$ равна 4, последняя цифра всего выражения равна $6 - 2 - 4 = 0$. Число, оканчивающееся на 0, делится на 10.