Номер 1197, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1197, страница 233.

Условие.

1197. В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось число, которое в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно определению двузначного числа, $a$ является целым числом от 1 до 9, а $b$ — целым числом от 0 до 9.

По условию, после зачеркивания одной из цифр получилось число в 31 раз меньше первоначального. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Зачеркнули цифру единиц (b)

Если зачеркнуть цифру единиц $b$, то от числа $10a + b$ останется число $a$. Согласно условию, первоначальное число в 31 раз больше полученного. Это можно записать в виде уравнения:

$10a + b = 31 \cdot a$

Выразим $b$:

$b = 31a - 10a$

$b = 21a$

Теперь проверим, существуют ли целые числа $a$ и $b$, удовлетворяющие этому равенству и ограничениям на цифры. Так как $a$ — цифра десятков, она не может быть нулем ($a \ge 1$). Возьмем минимальное возможное значение $a=1$:

$b = 21 \cdot 1 = 21$

Полученное значение $b=21$ не является цифрой, так как цифры могут быть только от 0 до 9. Если $a$ будет больше 1, то и $b$ будет еще больше. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: Зачеркнули цифру десятков (a)

Если зачеркнуть цифру десятков $a$, то от числа $10a + b$ останется число $b$. Составим уравнение согласно условию:

$10a + b = 31 \cdot b$

Упростим уравнение:

$10a = 31b - b$

$10a = 30b$

Разделим обе части на 10:

$a = 3b$

Теперь найдем все пары цифр $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому равенству, а также условиям $1 \le a \le 9$ и $0 \le b \le 9$.

• Если $b=0$, то $a = 3 \cdot 0 = 0$. Это невозможно, так как $a$ — первая цифра двузначного числа и не может быть нулем.
• Если $b=1$, то $a = 3 \cdot 1 = 3$. Первоначальное число — 31. Зачеркиваем цифру десятков 3, получаем 1. Проверка: $31 = 31 \cdot 1$. Это верное равенство.
• Если $b=2$, то $a = 3 \cdot 2 = 6$. Первоначальное число — 62. Зачеркиваем цифру десятков 6, получаем 2. Проверка: $62 = 31 \cdot 2$. Это верное равенство.
• Если $b=3$, то $a = 3 \cdot 3 = 9$. Первоначальное число — 93. Зачеркиваем цифру десятков 9, получаем 3. Проверка: $93 = 31 \cdot 3$. Это верное равенство.
• Если $b=4$, то $a = 3 \cdot 4 = 12$. Число 12 не является цифрой, поэтому дальнейшие значения $b$ проверять не нужно.

Таким образом, задача имеет три решения.

Ответ: зачеркнули цифру 3 в числе 31, или цифру 6 в числе 62, или цифру 9 в числе 93.