Номер 1123, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1123, страница 223.

Условие.

1123. (Задача-исследование.) На сколько надо уменьшить число 100, чтобы при делении полученной разности как на 5, так и на 7 остаток был равен 1 и при этом первое частное было на 2 больше второго?

1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.

2) Составьте систему уравнений и решите её.

3) Проверьте правильность полученного ответа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Пусть $x$ – это число, на которое надо уменьшить 100. Это искомая величина.
• Пусть $N$ – это полученная разность, то есть $N = 100 - x$.
• Пусть $q_1$ – это частное от деления числа $N$ на 5 (первое частное).
• Пусть $q_2$ – это частное от деления числа $N$ на 7 (второе частное).

Ответ: Удобно ввести переменную $x$ для искомой величины, $N$ для разности, $q_1$ и $q_2$ для частных.

2) Составьте систему уравнений и решите её.

Исходя из условий задачи и введенных обозначений, можно составить систему уравнений:

1. При делении $N$ на 5 остаток равен 1: $N = 5 \cdot q_1 + 1$.

2. При делении $N$ на 7 остаток равен 1: $N = 7 \cdot q_2 + 1$.

3. Первое частное на 2 больше второго: $q_1 = q_2 + 2$.

Запишем это в виде системы:

$ \begin{cases} N = 5q_1 + 1 \\ N = 7q_2 + 1 \\ q_1 = q_2 + 2 \end{cases} $

Приравняем правые части первых двух уравнений, так как их левые части равны:

$5q_1 + 1 = 7q_2 + 1$

$5q_1 = 7q_2$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $q_1$ из третьего уравнения системы:

$5(q_2 + 2) = 7q_2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $q_2$:

$5q_2 + 10 = 7q_2$

$10 = 7q_2 - 5q_2$

$10 = 2q_2$

$q_2 = 5$

Теперь найдем $q_1$, используя третье уравнение:

$q_1 = q_2 + 2 = 5 + 2 = 7$

Зная $q_1$ или $q_2$, найдем число $N$. Например, из первого уравнения:

$N = 5q_1 + 1 = 5 \cdot 7 + 1 = 35 + 1 = 36$

Мы нашли полученную разность $N = 36$. Теперь найдем искомую величину $x$, на которую уменьшили число 100:

$N = 100 - x$

$x = 100 - N = 100 - 36 = 64$

Ответ: Число 100 надо уменьшить на 64.

3) Проверьте правильность полученного ответа.

Проверим, выполняются ли все условия задачи, если уменьшить число 100 на 64.

1. Найдем полученную разность: $100 - 64 = 36$.

2. Разделим 36 на 5: $36 \div 5 = 7$ (остаток 1). Первое частное $q_1 = 7$, остаток равен 1. Условие выполнено.

3. Разделим 36 на 7: $36 \div 7 = 5$ (остаток 1). Второе частное $q_2 = 5$, остаток равен 1. Условие выполнено.

4. Сравним частные: $q_1 = 7$ и $q_2 = 5$. Первое частное больше второго на $7 - 5 = 2$. Условие выполнено.

Все условия задачи соблюдены, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: Проверка подтверждает, что число 100 надо уменьшить на 64.