Страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1018.На рисунке 48 изображён график функции $y = f(x)$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(-4)$, $f(-2,5)$, $f(0,5)$, $f(2)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = 2,5$, $f(x) = 1$, $f(x) = 0$;

3) область определения и область значений функции;

Рис. 48

4) значения аргумента, при которых значения функции положительные;

5) значения аргумента, при которых значения функции отрицательные.

1) f(-4), f(-2,5), f(0,5), f(2)

Чтобы найти значение функции $y = f(x)$ по графику для заданного значения аргумента $x$, нужно найти на оси абсцисс (горизонтальной оси) это значение $x$, затем найти точку на графике с этой абсциссой и определить её ординату (значение по вертикальной оси).

• При $x = -4$ находим на графике точку с координатами $(-4; 3)$. Следовательно, $f(-4) = 3$.
• При $x = -2,5$ находим на графике точку с координатами $(-2,5; 2)$. Следовательно, $f(-2,5) = 2$.
• При $x = 0,5$ находим на графике точку с координатами $(0,5; 0,5)$. Следовательно, $f(0,5) = 0,5$.
• При $x = 2$ находим на графике точку с координатами $(2; 0,5)$. Следовательно, $f(2) = 0,5$.

Ответ: $f(-4) = 3$; $f(-2,5) = 2$; $f(0,5) = 0,5$; $f(2) = 0,5$.

2) значения х, при которых f(x) = 2,5, f(x) = 1, f(x) = 0

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция принимает заданное значение, нужно провести горизонтальную прямую на уровне этого значения и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

• $f(x) = 2,5$: Проводим горизонтальную прямую $y = 2,5$. Она пересекает график в одной точке, абсцисса которой $x = -3$.
• $f(x) = 1$: Прямая $y = 1$ пересекает график в трех точках. Их абсциссы: $x = -2$, $x = 1$ и $x \approx 4,2$.
• $f(x) = 0$ (нули функции): График пересекает ось абсцисс в точках, где $y=0$. На графике видно три таких точки: $x = -1,5$, $x = 0$ и $x = 2,5$.

Ответ: при $f(x) = 2,5$, $x = -3$; при $f(x) = 1$, $x$ равен $-2$, $1$ или приблизительно $4,2$; при $f(x) = 0$, $x$ равен $-1,5$, $0$ или $2,5$.

3) область определения и область значений функции

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Это проекция графика на ось абсцисс. По графику видно, что он существует для $x$ от $-4$ до $4,5$ включительно.

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Это проекция графика на ось ординат. По графику видно, что наименьшее значение функции (минимальное) равно $-1$, а наибольшее (максимальное) — $3$.

Ответ: область определения $D(f) = [-4; 4,5]$; область значений $E(f) = [-1; 3]$.

4) значения аргумента, при которых значения функции положительны

Значения функции положительны ($f(x) > 0$), когда её график расположен выше оси абсцисс. Это происходит на нескольких промежутках. Нули функции, найденные ранее: $x = -1,5$, $x = 0$, $x = 2,5$. Из графика видно, что после минимума в точке с ординатой $-1$ (при $x \approx 3,25$), функция возрастает и пересекает ось $x$ еще раз примерно в точке $x \approx 3,8$.

Промежутки, где $f(x) > 0$:

• от $x = -4$ (включительно, т.к. $f(-4)=3>0$) до $x = -1,5$;
• от $x = 0$ до $x = 2,5$;
• от $x \approx 3,8$ до $x = 4,5$ (включительно, т.к. $f(4,5)=1,5>0$).

Ответ: $x \in [-4; -1,5) \cup (0; 2,5) \cup (\approx 3,8; 4,5]$.

5) значения аргумента, при которых значения функции отрицательны

Значения функции отрицательны ($f(x) < 0$), когда её график расположен ниже оси абсцисс. Используя те же нули функции, что и в предыдущем пункте, находим соответствующие промежутки.

Промежутки, где $f(x) < 0$:

• от $x = -1,5$ до $x = 0$;
• от $x = 2,5$ до $x \approx 3,8$.

Ответ: $x \in (-1,5; 0) \cup (2,5; \approx 3,8)$.