Страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1026.Графиком некоторой функции является ломаная ABCD с вершинами в точках A $(-3; 6)$, B $(-1; 2)$, C $(3; -2)$, D $(9; 0)$.

1) Постройте график данной функции.

2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: $-2; 0; 2; 6$.

3) Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно: $1; -1; 0$.

1) Постройте график данной функции.

График функции представляет собой ломаную линию ABCD. Для его построения нужно выполнить следующие шаги:

1. Начертить систему координат с осями Ox (ось абсцисс) и Oy (ось ординат).
2. Отметить на координатной плоскости точки с заданными координатами: A(-3; 6), B(-1; 2), C(3; -2), D(9; 0).
3. Последовательно соединить отрезками прямых точки A и B, затем B и C, и наконец C и D.

Полученная ломаная линия, состоящая из трех отрезков AB, BC и CD, является графиком данной функции. Область определения этой функции (все возможные значения аргумента x) — это отрезок от -3 до 9, то есть $x \in [-3, 9]$. Область значений функции (все возможные значения y) — отрезок от -2 до 6, то есть $y \in [-2, 6]$.

2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: -2; 0; 2; 6.

Чтобы найти значение функции (y) для заданного значения аргумента (x), необходимо сначала определить, на каком из отрезков ломаной (AB, BC или CD) находится точка с данной абсциссой. Для этого найдем уравнения прямых, которым принадлежат эти отрезки.

Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.

• Отрезок AB с концами в точках A(-3; 6) и B(-1; 2). Аргумент $x$ изменяется в пределах от -3 до -1.

  Найдем угловой коэффициент: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 6}{-1 - (-3)} = \frac{-4}{2} = -2$.

  Подставим координаты точки B в уравнение $y = -2x + b$: $2 = -2(-1) + b \Rightarrow 2 = 2 + b \Rightarrow b = 0$.

  Уравнение для отрезка AB: $y = -2x$ при $x \in [-3, -1]$.

• Отрезок BC с концами в точках B(-1; 2) и C(3; -2). Аргумент $x$ изменяется в пределах от -1 до 3.

  Найдем угловой коэффициент: $k = \frac{-2 - 2}{3 - (-1)} = \frac{-4}{4} = -1$.

  Подставим координаты точки B в уравнение $y = -x + b$: $2 = -(-1) + b \Rightarrow 2 = 1 + b \Rightarrow b = 1$.

  Уравнение для отрезка BC: $y = -x + 1$ при $x \in [-1, 3]$.

• Отрезок CD с концами в точках C(3; -2) и D(9; 0). Аргумент $x$ изменяется в пределах от 3 до 9.

  Найдем угловой коэффициент: $k = \frac{0 - (-2)}{9 - 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

  Подставим координаты точки D в уравнение $y = \frac{1}{3}x + b$: $0 = \frac{1}{3}(9) + b \Rightarrow 0 = 3 + b \Rightarrow b = -3$.

  Уравнение для отрезка CD: $y = \frac{1}{3}x - 3$ при $x \in [3, 9]$.

Теперь найдем значения функции для заданных аргументов:

• При $x = -2$: это значение принадлежит промежутку $[-3, -1]$, используем формулу для отрезка AB: $y = -2(-2) = 4$.
• При $x = 0$: это значение принадлежит промежутку $[-1, 3]$, используем формулу для отрезка BC: $y = -0 + 1 = 1$.
• При $x = 2$: это значение принадлежит промежутку $[-1, 3]$, используем формулу для отрезка BC: $y = -2 + 1 = -1$.
• При $x = 6$: это значение принадлежит промежутку $[3, 9]$, используем формулу для отрезка CD: $y = \frac{1}{3}(6) - 3 = 2 - 3 = -1$.

Ответ: если $x = -2$, то $y = 4$; если $x = 0$, то $y = 1$; если $x = 2$, то $y = -1$; если $x = 6$, то $y = -1$.

3) Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно: 1; -1; 0.

Для нахождения значения аргумента (x) по известному значению функции (y) будем использовать полученные ранее уравнения для каждого отрезка.

• Найдем $x$, при котором $y=1$.

  1. Отрезок AB ($y = -2x$): $1 = -2x \Rightarrow x = -0.5$. Это значение не принадлежит промежутку $x \in [-3, -1]$.

  2. Отрезок BC ($y = -x + 1$): $1 = -x + 1 \Rightarrow x = 0$. Это значение принадлежит промежутку $x \in [-1, 3]$. Следовательно, $x=0$ является решением.

  3. Отрезок CD ($y = \frac{1}{3}x - 3$): $1 = \frac{1}{3}x - 3 \Rightarrow 4 = \frac{1}{3}x \Rightarrow x = 12$. Это значение не принадлежит промежутку $x \in [3, 9]$.

  Таким образом, $y=1$ при $x=0$.

• Найдем $x$, при котором $y=-1$.

  1. Отрезок AB (значения y от 2 до 6): на этом отрезке функция не может быть равна -1.

  2. Отрезок BC ($y = -x + 1$): $-1 = -x + 1 \Rightarrow x = 2$. Это значение принадлежит промежутку $x \in [-1, 3]$. Следовательно, $x=2$ является решением.

  3. Отрезок CD ($y = \frac{1}{3}x - 3$): $-1 = \frac{1}{3}x - 3 \Rightarrow 2 = \frac{1}{3}x \Rightarrow x = 6$. Это значение принадлежит промежутку $x \in [3, 9]$. Следовательно, $x=6$ является решением.

  Таким образом, $y=-1$ при $x=2$ и $x=6$.

• Найдем $x$, при котором $y=0$.

  1. Отрезок AB (значения y от 2 до 6): на этом отрезке функция не может быть равна 0.

  2. Отрезок BC ($y = -x + 1$): $0 = -x + 1 \Rightarrow x = 1$. Это значение принадлежит промежутку $x \in [-1, 3]$. Следовательно, $x=1$ является решением.

  3. Отрезок CD ($y = \frac{1}{3}x - 3$): $0 = \frac{1}{3}x - 3 \Rightarrow 3 = \frac{1}{3}x \Rightarrow x = 9$. Это значение принадлежит промежутку $x \in [3, 9]$. Следовательно, $x=9$ является решением.

  Таким образом, $y=0$ при $x=1$ и $x=9$.

Ответ: значение функции равно 1 при $x=0$; значение функции равно -1 при $x=2$ и $x=6$; значение функции равно 0 при $x=1$ и $x=9$.

1027. Может ли ломаная $ABC$ быть графиком некоторой функции, если:

1) $A (-4; -1)$, $B (1; 2)$, $C (2; 4)$;

2) $A (-4; -1)$, $B (1; 2)$, $C (1; 3)$?

1) A (-4; -1), B (1; 2), C (2; 4)

Для того чтобы ломаная линия была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы каждому значению абсциссы (координаты $x$) из области определения соответствовало единственное значение ординаты (координаты $y$). Это свойство также известно как "тест вертикальной прямой": любая вертикальная прямая должна пересекать график не более чем в одной точке.

Рассмотрим вершины ломаной $ABC$: $A(-4; -1)$, $B(1; 2)$, $C(2; 4)$. Абсциссы (координаты $x$) этих точек: $x_A = -4$, $x_B = 1$, $x_C = 2$. Все абсциссы вершин различны и идут в порядке возрастания: $x_A < x_B < x_C$.

Ломаная состоит из двух отрезков: $AB$ и $BC$. Область определения для ломаной $ABC$ — это объединение отрезков абсцисс $[-4, 1]$ и $[1, 2]$, то есть отрезок $[-4, 2]$.

Для любого значения $x$ из полуинтервала $[-4, 1)$ на ломаной существует единственная точка (на отрезке $AB$). Для любого значения $x$ из полуинтервала $(1, 2]$ на ломаной существует единственная точка (на отрезке $BC$). В точке $x = 1$ оба отрезка ($AB$ и $BC$) сходятся в общей вершине $B(1; 2)$. Таким образом, значению $x=1$ соответствует единственное значение $y=2$.

Поскольку для каждого значения $x$ из области определения $[-4, 2]$ существует ровно одно значение $y$, данная ломаная является графиком некоторой функции.

Ответ: Да, может.

2) A (-4; -1), B (1; 2), C (1; 3)

Воспользуемся определением функции: каждому значению аргумента $x$ должно соответствовать единственное значение функции $y$.

Рассмотрим вершины ломаной $ABC$: $A(-4; -1)$, $B(1; 2)$, $C(1; 3)$. Абсциссы точек $B$ и $C$ одинаковы: $x_B = 1$ и $x_C = 1$. При этом их ординаты различны: $y_B = 2$ и $y_C = 3$.

Это означает, что на ломаной есть как минимум две точки, $B(1; 2)$ и $C(1; 3)$, с одной и той же абсциссой $x=1$, но разными ординатами. Таким образом, одному значению аргумента $x=1$ соответствуют два разных значения функции: $y=2$ и $y=3$.

Более того, отрезок $BC$, соединяющий точки $B(1; 2)$ и $C(1; 3)$, является вертикальным отрезком. Все его точки имеют абсциссу $x=1$ и ординаты из отрезка $[2, 3]$. Следовательно, значению $x=1$ соответствует бесконечно много значений $y$.

Это противоречит определению функции. Геометрически, вертикальная прямая $x=1$ пересекает ломаную во всех точках отрезка $BC$.

Ответ: Нет, не может.

1028.Графиком некоторой функции является ломаная $MKE$, где $M (-4; 1)$, $K (2; 4)$, $E (5; -2)$.

1) Постройте график данной функции.

2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: -2; 0; 3.

3) Найдите значение $x$, при котором $y = -2; 0; 2$.

1) Постройте график данной функции.

Графиком функции является ломаная линия, состоящая из двух отрезков: MK и KE. Чтобы построить график, нужно выполнить следующие шаги: 1. Начертить систему координат с осями Ox и Oy. 2. Отметить на координатной плоскости точки с заданными координатами: M(-4; 1), K(2; 4) и E(5; -2). 3. Соединить точку M с точкой K прямолинейным отрезком. 4. Соединить точку K с точкой E прямолинейным отрезком. Полученная в результате этих построений ломаная MKE и является графиком данной функции. Область определения функции (допустимые значения аргумента x) — это отрезок от -4 до 5, то есть $x \in [-4, 5]$.

2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: -2; 0; 3.

Для нахождения значений функции (y) при заданных значениях аргумента (x), необходимо сначала определить аналитическое задание функции, то есть найти уравнения для каждого отрезка ломаной.

Уравнение для отрезка MK, концами которого служат точки M(-4; 1) и K(2; 4). Используем уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $ Подставляем координаты точек M и K: $ \frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - (-4)}{2 - (-4)} $
$ \frac{y - 1}{3} = \frac{x + 4}{6} $
Умножим обе части на 3: $ y - 1 = \frac{x + 4}{2} $
$ y - 1 = \frac{1}{2}x + 2 $
$ y = \frac{1}{2}x + 3 $, данное уравнение справедливо для $x \in [-4, 2]$.

Уравнение для отрезка KE, концами которого служат точки K(2; 4) и E(5; -2). Подставляем координаты точек K и E в то же уравнение прямой: $ \frac{y - 4}{-2 - 4} = \frac{x - 2}{5 - 2} $
$ \frac{y - 4}{-6} = \frac{x - 2}{3} $
Умножим обе части на -6: $ y - 4 = -2(x - 2) $
$ y - 4 = -2x + 4 $
$ y = -2x + 8 $, данное уравнение справедливо для $x \in [2, 5]$.

Теперь, имея уравнения, найдем значения функции для заданных аргументов:
- При $x = -2$: это значение принадлежит отрезку $[-4, 2]$, поэтому используем первую формулу $y = \frac{1}{2}x + 3$.
$y = \frac{1}{2}(-2) + 3 = -1 + 3 = 2$.
- При $x = 0$: это значение также принадлежит отрезку $[-4, 2]$, поэтому используем первую формулу $y = \frac{1}{2}x + 3$.
$y = \frac{1}{2}(0) + 3 = 0 + 3 = 3$.
- При $x = 3$: это значение принадлежит отрезку $[2, 5]$, поэтому используем вторую формулу $y = -2x + 8$.
$y = -2(3) + 8 = -6 + 8 = 2$.

Ответ: при $x = -2$, $y = 2$; при $x = 0$, $y = 3$; при $x = 3$, $y = 2$.

3) Найдите значение x, при котором y = -2; 0; 2.

Для нахождения значений аргумента (x) по заданным значениям функции (y), будем использовать полученные ранее уравнения, подставляя в них заданные значения y.

- При $y = -2$:
Сначала определим, на каком отрезке функция может принимать такое значение. На отрезке MK значения y изменяются от 1 до 4. Значение $y = -2$ сюда не входит. На отрезке KE значения y изменяются от 4 до -2. Значит, искомая точка лежит на отрезке KE. Используем уравнение $y = -2x + 8$:
$ -2 = -2x + 8 $
$ 2x = 8 + 2 $
$ 2x = 10 $
$ x = 5 $. Это значение соответствует абсциссе точки E и входит в отрезок $[2, 5]$.

- При $y = 0$:
Аналогично, значение $y=0$ не попадает в диапазон [1, 4] отрезка MK. Следовательно, точка находится на отрезке KE. Используем уравнение $y = -2x + 8$:
$ 0 = -2x + 8 $
$ 2x = 8 $
$ x = 4 $. Это значение входит в отрезок $[2, 5]$.

- При $y = 2$:
Значение $y=2$ попадает в диапазон значений обоих отрезков (и в [1, 4], и в [-2, 4]), поэтому необходимо проверить оба уравнения.
1. Для отрезка MK ($x \in [-4, 2]$), используем $y = \frac{1}{2}x + 3$:
$ 2 = \frac{1}{2}x + 3 $
$ \frac{1}{2}x = 2 - 3 $
$ \frac{1}{2}x = -1 $
$ x = -2 $. Это значение входит в отрезок $[-4, 2]$.
2. Для отрезка KE ($x \in [2, 5]$), используем $y = -2x + 8$:
$ 2 = -2x + 8 $
$ 2x = 8 - 2 $
$ 2x = 6 $
$ x = 3 $. Это значение входит в отрезок $[2, 5]$.
Таким образом, функция принимает значение $y=2$ при двух значениях аргумента.

Ответ: при $y = -2$, $x = 5$; при $y = 0$, $x = 4$; при $y = 2$, $x = -2$ или $x = 3$.

1029. Функция задана формулой $y = x^2 - 1$, где $-2 \le x \le 3$.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких – больше нуля.

4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

Дана функция $y = x^2 - 1$ на отрезке $[-2, 3]$. Для составления таблицы значений с шагом 1, необходимо вычислить значения функции $y$ для каждого целого значения аргумента $x$ из данного отрезка.

• При $x = -2$: $y = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
• При $x = -1$: $y = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
• При $x = 0$: $y = (0)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$
• При $x = 1$: $y = (1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
• При $x = 2$: $y = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
• При $x = 3$: $y = (3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$

Сведем полученные результаты в таблицу:

Ответ: Таблица значений функции составлена выше.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

Графиком функции $y = x^2 - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -1)$. Мы строим эту параболу на отрезке $x \in [-2, 3]$. Для построения графика начертим систему координат, отметим на ней точки из таблицы, вычисленные в пункте 1, а затем соединим их плавной линией, учитывая, что это часть параболы.

Ответ: График функции построен на рисунке выше.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля.

Анализируя построенный график, определим, при каких значениях аргумента $x$ значения функции $y$ положительны или отрицательны.

Значения функции меньше нуля ($y < 0$):
Это происходит на тех участках, где график функции расположен ниже оси абсцисс ($Ox$). Из графика видно, что парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -1$ и $x = 1$ и находится ниже оси между этими точками.
Следовательно, $y < 0$ при $-1 < x < 1$.

Значения функции больше нуля ($y > 0$):
Это происходит на тех участках, где график функции расположен выше оси абсцисс ($Ox$). Учитывая область определения $x \in [-2, 3]$, получаем два интервала:
1. На отрезке от $x = -2$ до точки пересечения $x = -1$. То есть, при $-2 \le x < -1$.
2. От точки пересечения $x = 1$ до конца отрезка $x = 3$. То есть, при $1 < x \le 3$.

Ответ: значения функции меньше нуля при $x \in (-1, 1)$; значения функции больше нуля при $x \in [-2, -1) \cup (1, 3]$.

4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает $y$ на заданной области определения. На графике это соответствует проекции кривой на ось ординат ($Oy$).

Для нахождения области значений необходимо определить наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке $x \in [-2, 3]$.
Из графика видно, что наименьшее значение функция достигает в своей вершине, которая находится в точке $(0, -1)$. Это значение $y_{min} = -1$.
Наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка. Сравним значения $y$ в граничных точках $x=-2$ и $x=3$:
$y(-2) = 3$
$y(3) = 8$
Наибольшим из них является $y_{max} = 8$.
Таким образом, функция принимает все значения от -1 до 8 включительно.

Ответ: область значений функции: $E(y) = [-1, 8]$, или $-1 \le y \le 8$.

1030. Функция задана формулой $y = 4 - x^2$, где $-3 \le x \le 2$.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких – больше нуля.

4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

Дана функция $y = 4 - x^2$ на отрезке $x \in [-3, 2]$. Чтобы составить таблицу значений с шагом 1, подставим в формулу целые значения $x$ от -3 до 2.

• При $x = -3$: $y = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$
• При $x = -2$: $y = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0$
• При $x = -1$: $y = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$
• При $x = 0$: $y = 4 - (0)^2 = 4 - 0 = 4$
• При $x = 1$: $y = 4 - (1)^2 = 4 - 1 = 3$
• При $x = 2$: $y = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0$

Сведем полученные результаты в таблицу:

Ответ: Таблица значений составлена.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

Для построения графика нанесем на координатную плоскость точки из составленной таблицы: $(-3, -5)$, $(-2, 0)$, $(-1, 3)$, $(0, 4)$, $(1, 3)$, $(2, 0)$. Далее соединим эти точки плавной линией. Функция $y = 4 - x^2$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$. Поскольку функция задана на отрезке $[-3, 2]$, график будет представлять собой не всю параболу, а лишь ее часть, ограниченную точками, соответствующими концам отрезка.

Ответ: График функции представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(0, 4)$ и концами в точках $(-3, -5)$ и $(2, 0)$.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля.

Проанализируем построенный график функции:

• Значения функции больше нуля ($y > 0$) соответствуют той части графика, которая расположена выше оси абсцисс (оси Ox). График пересекает ось Ox в точках $x = -2$ и $x = 2$. Между этими точками график находится выше оси. Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-2, 2)$.
• Значения функции меньше нуля ($y < 0$) соответствуют той части графика, которая расположена ниже оси абсцисс. На заданном отрезке $[-3, 2]$ это происходит для значений $x$ от -3 до -2. При $x = -3$ значение функции равно -5, а при $x = -2$ — нулю. Таким образом, $y < 0$ при $x \in [-3, -2)$.

Ответ: Значения функции больше нуля при $-2 < x < 2$; значения функции меньше нуля при $-3 \le x < -2$.

4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.

Область значений функции (множество всех значений $y$) можно определить, найдя самую низкую и самую высокую точки на графике в пределах заданной области определения $x \in [-3, 2]$.

• Самая высокая точка графика — это его вершина, точка $(0, 4)$. Значит, максимальное значение функции равно 4.
• Самая низкая точка на данном участке графика — это левый конец дуги, точка $(-3, -5)$. Значит, минимальное значение функции на этом отрезке равно -5.

Функция непрерывна, поэтому она принимает все значения между своим минимумом и максимумом.

Ответ: Область значений функции: $y \in [-5, 4]$.

1031.Значение функции $y=f(x)$ равно 0 при значениях аргумента, равных

$-5$ и $4$. Какое из следующих утверждений верно:

1) график функции имеет с осью ординат две общие точки $(0; -5)$

и $(0; 4)$;

2) график функции имеет с осью абсцисс две общие точки $(-5; 0)$

и $(4; 0)$?

По условию задачи, значение функции $y=f(x)$ равно 0 при значениях аргумента $x$, равных –5 и 4. Это можно записать в виде равенств: $f(-5) = 0$ и $f(4) = 0$.

Точки, в которых значение функции (координата $y$) равно нулю, являются точками пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox). Таким образом, из условия следует, что график функции проходит через точки с координатами $(-5; 0)$ и $(4; 0)$.

Рассмотрим предложенные утверждения:

1) график функции имеет с осью ординат две общие точки (0; –5) и (0; 4)

Ось ординат (ось Oy) – это вертикальная ось, для всех точек которой координата $x=0$. Утверждение гласит, что график пересекает ось Oy в точках $(0; -5)$ и $(0; 4)$. Это означает, что при $x=0$ функция принимает два значения: $y=-5$ и $y=4$. Однако по определению функции, одному значению аргумента не может соответствовать два разных значения функции. Следовательно, график функции может пересекать ось ординат не более чем в одной точке. Данное утверждение неверно.

2) график функции имеет с осью абсцисс две общие точки (–5; 0) и (4; 0)

Ось абсцисс (ось Ox) – это горизонтальная ось, для всех точек которой координата $y=0$. Как следует из условия, при $x=-5$ значение функции $y=0$, и при $x=4$ значение функции $y=0$. Это означает, что точки $(-5; 0)$ и $(4; 0)$ принадлежат графику функции и одновременно лежат на оси абсцисс. Следовательно, это утверждение верно.

Ответ: 2

1032. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

1) $y = x^2 - 16x;$

2) $y = |x| - 2;$

3) $y = x^3 - 9x;$

4) $y = 0.8x.$

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо выполнить следующие действия:

• Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью Oy), нужно подставить значение $x=0$ в уравнение функции и вычислить соответствующее значение $y$. Координаты этой точки будут $(0, y)$.
• Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (осью Ox), нужно подставить значение $y=0$ в уравнение функции и решить полученное уравнение относительно $x$. Координаты этих точек будут $(x, 0)$.

1) $y = x^2 - 16x$

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$ в уравнение:
$y = 0^2 - 16 \cdot 0 = 0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

Найдём точки пересечения с осью Ox, подставив $y=0$ в уравнение:
$x^2 - 16x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 16) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x - 16 = 0$, откуда $x_2 = 16$.
Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(16, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(16, 0)$.

2) $y = |x| - 2$

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$ в уравнение:
$y = |0| - 2 = 0 - 2 = -2$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -2)$.

Найдём точки пересечения с осью Ox, подставив $y=0$ в уравнение:
$|x| - 2 = 0$
$|x| = 2$
Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: $(0, -2)$, $(2, 0)$, $(-2, 0)$.

3) $y = x^3 - 9x$

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$ в уравнение:
$y = 0^3 - 9 \cdot 0 = 0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

Найдём точки пересечения с осью Ox, подставив $y=0$ в уравнение:
$x^3 - 9x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 9) = 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(x - 3)(x + 3) = 0$
Уравнение имеет три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -3$.
Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$, $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(-3, 0)$.

4) $y = 0.8x$

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$ в уравнение:
$y = 0.8 \cdot 0 = 0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

Найдём точку пересечения с осью Ox, подставив $y=0$ в уравнение:
$0.8x = 0$
$x = 0$
Точка пересечения с осью Ox: $(0, 0)$.
График данной функции является прямой, проходящей через начало координат, поэтому она пересекает обе оси в одной и той же точке.

Ответ: $(0, 0)$.

1033. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

1) $y = 36 - 9x$,

2) $y = x^2 + x$,

3) $y = 49 - x^2$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо выполнить следующие действия:

1. Для нахождения точки пересечения с осью ординат ($Oy$), нужно подставить $x = 0$ в уравнение функции. Координаты этой точки будут $(0; y)$.
2. Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс ($Ox$), нужно подставить $y = 0$ в уравнение функции и решить полученное уравнение относительно $x$. Координаты этих точек будут $(x; 0)$.

1) $y = 36 - 9x$

Найдём точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x = 0$:

$y = 36 - 9 \cdot 0 = 36$

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 36)$.

Найдём точку пересечения с осью $Ox$, подставив $y = 0$:

$0 = 36 - 9x$

$9x = 36$

$x = \frac{36}{9} = 4$

Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(4; 0)$.

Ответ: $(4; 0)$ и $(0; 36)$.

2) $y = x^2 + x$

Найдём точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x = 0$:

$y = 0^2 + 0 = 0$

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 0)$.

Найдём точки пересечения с осью $Ox$, подставив $y = 0$:

$0 = x^2 + x$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(0; 0)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: $(-1; 0)$ и $(0; 0)$.

3) $y = 49 - x^2$

Найдём точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x = 0$:

$y = 49 - 0^2 = 49$

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 49)$.

Найдём точки пересечения с осью $Ox$, подставив $y = 0$:

$0 = 49 - x^2$

$x^2 = 49$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{49} = 7$

$x_2 = -\sqrt{49} = -7$

Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(7; 0)$ и $(-7; 0)$.

Ответ: $(7; 0)$, $(-7; 0)$ и $(0; 49)$.