Страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1014. Найдите область определения и область значений функции, график которой изображён на рисунке 45.

Рис. 45

а) Область определения: $D(y) = [-2.5; 2)$

Область значений: $E(y) = (-1.5; 3]$

б) Область определения: $D(y) = [-2; 2]$

Область значений: $E(y) = [1; 3]$

в) Область определения: $D(y) = [-2; 2)$

Область значений: $E(y) = [0.5; 4)$

г) Область определения: $D(y) = [-2; 1)$

Область значений: $E(y) = \{-0.5\}$

д) Область определения: $D(y) = \{-1; 1\}$

Область значений: $E(y) = \{-1; 2\}$

а)

Область определения функции (обозначается $D(y)$) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. На графике это проекция всех точек на ось абсцисс (ось $Ox$). Для данного графика крайняя левая точка имеет абсциссу $x = -2$, и она включена в график (на конце нет выколотой точки). Крайняя правая точка имеет абсциссу $x = 2$, но она не включена в график (обозначена пустым, или «выколотым», кружком). Таким образом, область определения — это промежуток от -2 включительно до 2 не включительно.

Область значений функции (обозначается $E(y)$) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. На графике это проекция всех точек на ось ординат (ось $Oy$). Наибольшее значение функция достигает в вершине параболы, это $y=3$. Наименьшее значение стремится к $y=0$ в выколотой точке $(2, 0)$. Поскольку точка выколота, значение $0$ не достигается. Следовательно, область значений — это промежуток от 0 не включительно до 3 включительно.

Ответ: область определения $D(y) = [-2; 2)$, область значений $E(y) = (0; 3]$.

б)

Область определения $D(y)$. Проецируем график на ось $Ox$. График представляет собой отрезок прямой, крайняя левая точка которого имеет абсциссу $x=-2$, а крайняя правая — $x=2$. Обе конечные точки отрезка не выколоты, значит они принадлежат графику. Следовательно, область определения — это промежуток от -2 до 2, включая концы.

Область значений $E(y)$. Проецируем график на ось $Oy$. Функция является убывающей на всей области определения. Наибольшее значение достигается в левой крайней точке: $y=3$ при $x=-2$. Наименьшее значение достигается в правой крайней точке: $y=1$ при $x=2$. Оба значения включены, так как точки принадлежат графику. Таким образом, область значений — это промежуток от 1 до 3 включительно.

Ответ: область определения $D(y) = [-2; 2]$, область значений $E(y) = [1; 3]$.

в)

Область определения $D(y)$. Проецируем график на ось $Ox$. Крайняя левая точка имеет абсциссу $x=-3$ и она включена. Крайняя правая точка имеет абсциссу $x=2$ и она выколота. Значит, область определения — это промежуток от -3 включительно до 2 не включительно.

Область значений $E(y)$. Проецируем график на ось $Oy$. Функция является возрастающей. Наименьшее значение достигается в левой крайней точке: $y=1$ при $x=-3$. Это значение включено. Наибольшее значение стремится к $y=3$ в правой выколотой точке. Это значение не достигается. Таким образом, область значений — это промежуток от 1 включительно до 3 не включительно.

Ответ: область определения $D(y) = [-3; 2)$, область значений $E(y) = [1; 3)$.

г)

Область определения $D(y)$. Проецируем график на ось $Ox$. График — это горизонтальный отрезок. Его левая конечная точка при $x=-3$ включена, а правая конечная точка при $x=2$ выколота. Следовательно, область определения — это промежуток от -3 включительно до 2 не включительно.

Область значений $E(y)$. Проецируем график на ось $Oy$. Все точки графика имеют одну и ту же ординату $y=-2$. Это означает, что функция принимает только одно значение. Таким образом, область значений состоит из одного числа -2.

Ответ: область определения $D(y) = [-3; 2)$, область значений $E(y) = \{-2\}$.

д)

Область определения $D(y)$. График состоит из двух отдельных точек. Область определения — это множество абсцисс (координат $x$) этих точек. Координаты точек: $(-2, 2)$ и $(1, -2)$. Абсциссы этих точек: -2 и 1. Таким образом, область определения — это множество из двух чисел.

Область значений $E(y)$. Область значений — это множество ординат (координат $y$) этих точек. Ординаты этих точек: 2 и -2. Таким образом, область значений — это также множество из двух чисел.

Ответ: область определения $D(y) = \{-2; 1\}$, область значений $E(y) = \{-2; 2\}$.

1015. Пользуясь графиком функции $y = f(x)$, изображённым на рисунке 42, найдите:

1) значения аргумента, при которых $y = 3$;

2) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

3) область определения функции;

4) область значений функции;

5) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения;

6) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Рис. 42

1) значения аргумента, при которых $y = 3$;

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно 3, необходимо найти абсциссы точек пересечения графика функции с горизонтальной прямой $y = 3$. Проведя на графике прямую $y = 3$, мы видим, что она пересекает график функции в двух точках. Спроецировав эти точки на ось абсцисс, мы находим соответствующие значения аргумента.

Первая точка пересечения имеет абсциссу $x = -3$.

Вторая точка пересечения имеет абсциссу $x = 2$.

Ответ: $x = -3$; $x = 2$.

2) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

Значение функции равно нулю в тех точках, где её график пересекает ось абсцисс (ось $Ox$). Такие значения аргумента называются нулями функции. Из графика видно, что функция пересекает ось $Ox$ в трёх точках.

Абсциссы этих точек: $x = -5$, $x = 3$ и $x = 7$.

Ответ: $x = -5$; $x = 3$; $x = 7$.

3) область определения функции;

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. На графике это соответствует проекции всего графика на ось абсцисс. График начинается в точке с абсциссой $x = -5$ и заканчивается в точке с абсциссой $x = 7$. Таким образом, функция определена для всех $x$ на отрезке от -5 до 7 включительно.

Ответ: $D(f) = [-5; 7]$.

4) область значений функции;

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. На графике это соответствует проекции всего графика на ось ординат (ось $Oy$). Чтобы найти эту область, нужно определить минимальное и максимальное значение функции.

Минимальное значение (самая низкая точка графика) равно $y = -2$.

Максимальное значение (самая высокая точка графика) равно $y = 5$.

Функция принимает все значения между -2 и 5 включительно.

Ответ: $E(f) = [-2; 5]$.

5) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения;

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) на тех интервалах, где её график расположен ниже оси абсцисс. Из графика видно, что это происходит на интервале между $x = 3$ и $x = 7$. В точках $x = 3$ и $x = 7$ значение функции равно нулю, поэтому они не включаются в интервал.

Ответ: $x \in (3; 7)$.

6) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Функция принимает положительные значения ($y > 0$) на тех интервалах, где её график расположен выше оси абсцисс. Из графика видно, что это происходит на интервале между $x = -5$ и $x = 3$. В точках $x = -5$ и $x = 3$ значение функции равно нулю, поэтому они не включаются в интервал.

Ответ: $x \in (-5; 3)$.

1016. На рисунке 46 изображён график некоторой функции. Пользуясь графиком, найдите:

1) значение $y$, если $x = -3,5; -1,5; 2; 4$;

2) значения $x$, которым соответствуют значения $y = -3; -1,5; 2$;

3) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

4) область определения и область значений функции;

5) значения аргумента, при которых значения функции положительные;

6) значения аргумента, при которых значения функции отрицательные.

Рис. 46

1) значение y, если x = -3,5; -1,5; 2; 4;

Для нахождения значения функции (y) по заданному значению аргумента (x), необходимо найти на оси абсцисс (оси x) заданную точку, провести из нее перпендикуляр до пересечения с графиком функции, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат (оси y). Полученная точка на оси y и будет искомым значением функции.
- При $x = -3,5$ находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна $-2$. Таким образом, $y = -2$.
- При $x = -1,5$ находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна $3,5$. Таким образом, $y = 3,5$.
- При $x = 2$ находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна $-1$. Таким образом, $y = -1$.
- При $x = 4$ находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна $2$. Таким образом, $y = 2$.

Ответ: если $x = -3,5$, то $y = -2$; если $x = -1,5$, то $y = 3,5$; если $x = 2$, то $y = -1$; если $x = 4$, то $y = 2$.

2) значения x, которым соответствуют значения y = -3; -1,5; 2;

Для нахождения значений аргумента (x), которым соответствуют заданные значения функции (y), необходимо найти на оси ординат (оси y) заданную точку и провести из нее горизонтальную прямую до пересечения с графиком функции. Абсциссы точек пересечения и будут искомыми значениями x.
- При $y = -3$ проводим горизонтальную прямую $y = -3$. Она пересекает график в одной точке, абсцисса которой равна $-4$. Таким образом, $x = -4$.
- При $y = -1,5$ проводим горизонтальную прямую $y = -1,5$. Она пересекает график в трех точках, абсциссы которых примерно равны $-3,2$, $2,5$ и $3,5$. Таким образом, $x \approx -3,2$, $x = 2,5$, $x = 3,5$.
- При $y = 2$ проводим горизонтальную прямую $y = 2$. Она пересекает график в трех точках, абсциссы которых равны $-2,5$, $-1$ и $4$. Таким образом, $x = -2,5$, $x = -1$, $x = 4$.

Ответ: $y = -3$ при $x = -4$; $y = -1,5$ при $x \approx -3,2$, $x = 2,5$, $x = 3,5$; $y = 2$ при $x = -2,5$, $x = -1$, $x = 4$.

3) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

Значение функции равно нулю в тех точках, где ее график пересекает ось абсцисс (ось x). Эти точки называются нулями функции. Из графика видно, что график пересекает ось x в трех точках. Абсциссы этих точек: $x = -3$, $x = 1,5$ и $x \approx 3,8$.

Ответ: $y = 0$ при $x = -3$, $x = 1,5$, $x \approx 3,8$.

4) область определения и область значений функции;

Область определения функции ($D(f)$) – это множество всех значений аргумента (x), при которых функция определена. На графике это проекция графика на ось x. График изображен для x в промежутке от $-4,5$ до $5$. Следовательно, область определения: $D(f) = [-4,5; 5]$.

Область значений функции ($E(f)$) – это множество всех значений, которые принимает функция (y). На графике это проекция графика на ось y. Наименьшее значение функции на графике равно $y_{min} = -3,5$. Наибольшее значение функции на графике равно $y_{max} \approx 3,8$. Следовательно, область значений: $E(f) = [-3,5; 3,8]$.

Ответ: область определения $D(f) = [-4,5; 5]$; область значений $E(f) = [-3,5; 3,8]$.

5) значения аргумента, при которых значения функции положительны;

Значения функции положительны ($y > 0$) на тех интервалах, где график функции расположен выше оси абсцисс (оси x). Из графика видно, что это происходит на интервалах $(-3; 1,5)$ и $(3,8; 5]$. Объединяя эти интервалы, получаем: $x \in (-3; 1,5) \cup (3,8; 5]$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-3; 1,5) \cup (3,8; 5]$.

6) значения аргумента, при которых значения функции отрицательны.

Значения функции отрицательны ($y < 0$) на тех интервалах, где график функции расположен ниже оси абсцисс (оси x). Из графика видно, что это происходит на интервалах $[-4,5; -3)$ и $(1,5; 3,8)$. Объединяя эти интервалы, получаем: $x \in [-4,5; -3) \cup (1,5; 3,8)$.

Ответ: $y < 0$ при $x \in [-4,5; -3) \cup (1,5; 3,8)$.