Страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют графиком функции?

1. Что называют графиком функции?

Графиком функции называют геометрическое представление этой функции на координатной плоскости. Формально, график функции $y = f(x)$ — это множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы (координаты по оси $x$) которых являются допустимыми значениями аргумента $x$ (из области определения функции), а ординаты (координаты по оси $y$) — соответствующими им значениями функции $f(x)$.

Таким образом, каждая точка, принадлежащая графику функции, имеет координаты вида $(x, f(x))$. Чтобы построить график, для каждого значения аргумента $x$ вычисляют значение функции $y$ и отмечают точку с координатами $(x, y)$ на плоскости. Соединив все такие точки, получают линию (прямую, кривую и т.д.), которая и является графиком данной функции.

Например, если точка с координатами $(a, b)$ лежит на графике функции $f$, это означает, что при $x = a$ значение функции равно $b$, то есть выполняется равенство $b = f(a)$.

Ответ: Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

2. Какие два условия должны выполняться, чтобы фигура была графиком функции $f$?

Для того чтобы некоторая фигура (множество точек на координатной плоскости) была графиком функции $y = f(x)$, должны выполняться два фундаментальных условия, вытекающих непосредственно из определения функции.

1. Условие однозначности соответствия.
   Это основное свойство функции: каждому значению независимой переменной (аргумента) $x$ из области определения функции должно соответствовать одно и только одно значение зависимой переменной (функции) $y$.
   Геометрически это означает, что любая вертикальная прямая, уравнение которой $x = c$ (где $c$ — некоторое число из области определения функции), должна пересекать график функции ровно в одной точке. Этот критерий известен как тест вертикальной прямой. Если существует хотя бы одна вертикальная прямая, пересекающая фигуру более чем в одной точке, то эта фигура не является графиком функции, так как одному значению $x$ ставится в соответствие несколько значений $y$.

2. Условие полноты области определения.
   Для каждого значения аргумента $x$ из заявленной области определения функции $D(f)$ должно существовать соответствующее значение $y$, то есть на графике должна быть точка с абсциссой $x$.
   Геометрически это означает, что проекция всего графика на ось абсцисс (ось $Ox$) должна в точности совпадать с областью определения функции $D(f)$. Если область определения, например, — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), то проекция графика на ось $Ox$ должна покрывать всю эту ось.

Ответ: Чтобы фигура была графиком функции $f$, необходимо, чтобы: 1) любая вертикальная прямая пересекала эту фигуру не более чем в одной точке (условие однозначности); 2) проекция фигуры на ось абсцисс ($Ox$) совпадала с областью определения функции $f$ (условие полноты).

3. Может ли график функции состоять из одной точки?

Да, график функции может состоять из одной точки. Это возможно в том случае, когда область определения функции состоит из одного-единственного числа.

По определению, функция — это правило, по которому каждому элементу $x$ из множества, называемого областью определения ($D(f)$), ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества, называемого областью значений ($E(f)$). График функции — это множество всех точек с координатами $(x, y)$ на координатной плоскости, где $x$ — значение аргумента из области определения, а $y$ — соответствующее ему значение функции, то есть $y = f(x)$.

Если область определения функции $D(f)$ состоит всего из одного числа, например $D(f) = \{a\}$, то и значение функция может принять только для этого одного аргумента. Пусть $f(a) = b$. Тогда множество точек, составляющих график, будет состоять из одной-единственной пары координат $(a, b)$. Эта пара координат и представляет собой одну точку на плоскости.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть задана функция $y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}$.

Найдем ее область определения. Для существования функции необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Это должно выполняться одновременно:

$x \ge 0$ и $-x \ge 0$.

Из второго неравенства $-x \

4. Всякая ли фигура может служить графиком функции?

Нет, не всякая фигура на координатной плоскости может служить графиком функции.

По определению, функция — это такое правило, по которому каждому значению независимой переменной $x$ из некоторого множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$.

График функции $y = f(x)$ — это множество всех точек на плоскости с координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют данному правилу. Ключевое требование — «единственное значение $y$». Это значит, что для одного и того же значения $x$ не может существовать двух или более разных значений $y$.

Это требование приводит к простому и наглядному способу проверки, который называется тестом с вертикальной прямой.

Суть теста: если можно провести хотя бы одну вертикальную прямую (то есть прямую, параллельную оси $Oy$), которая пересекает рассматриваемую фигуру более чем в одной точке, то эта фигура не является графиком функции. Если же любая вертикальная прямая пересекает фигуру не более чем в одной точке, то фигура может быть графиком функции.

Примеры фигур, которые являются графиками функций:

• Любая невертикальная прямая, например, график функции $y = kx + b$. Любая вертикальная прямая пересекает ее ровно один раз.
• Парабола с ветвями вверх или вниз, например, график функции $y = x^2$. Любая вертикальная прямая пересекает ее также ровно в одной точке.

Примеры фигур, которые НЕ являются графиками функций:

• Окружность. Возьмем окружность, заданную уравнением $x^2 + y^2 = 4$. Вертикальная прямая $x=1$ пересекает эту окружность в двух точках: $(1, \sqrt{3})$ и $(1, -\sqrt{3})$. Это означает, что одному значению $x=1$ соответствуют два разных значения $y$, что противоречит определению функции.
• Парабола с ветвями вправо или влево. Например, фигура, заданная уравнением $x = y^2$. Вертикальная прямая $x=9$ пересекает ее в двух точках: $(9, 3)$ и $(9, -3)$.
• Вертикальная прямая, например, $x = 2$. Здесь одному значению $x=2$ соответствует бесконечное множество значений $y$.

Ответ: Нет, не всякая фигура может быть графиком функции. Графиком функции является только такая фигура, у которой любая вертикальная прямая имеет с ней не более одной общей точки.

5. Приведите пример фигуры, которая не может являться графиком функции.

Для того чтобы некоторая фигура на координатной плоскости являлась графиком функции $y = f(x)$, она должна удовлетворять основному свойству функции: каждому значению аргумента $x$ из области определения должно соответствовать единственное значение функции $y$.

Графически это проверяется с помощью так называемого теста вертикальной прямой. Если можно провести хотя бы одну вертикальную прямую (прямую, параллельную оси ординат), которая пересекает фигуру более чем в одной точке, то эта фигура не является графиком функции. Это связано с тем, что для значения $x$, через которое проходит такая вертикальная прямая, существует несколько значений $y$, что противоречит определению функции.

Одним из самых наглядных примеров такой фигуры является окружность. Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R$ имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Если мы попробуем выразить $y$ через $x$, мы получим $y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}$. Видно, что для любого значения $x$ из интервала $(-R, R)$ существует два соответствующих значения $y$. Например, вертикальная прямая $x=0$ пересекает окружность в двух точках: $(0, R)$ и $(0, -R)$. Следовательно, окружность не может быть графиком функции.

Другим простым примером является любая вертикальная прямая, заданная уравнением $x = c$, где $c$ — константа. В этом случае одному значению аргумента $x=c$ соответствует бесконечное множество значений $y$, что является прямым нарушением определения функции.

Также можно привести в пример параболу, "лежащую на боку", например, заданную уравнением $x = y^2$. Для любого положительного $x$ существует два значения $y = \pm\sqrt{x}$, поэтому она также не является графиком функции.

Ответ: Примером фигуры, которая не может являться графиком функции, является окружность (например, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 1$), любая вертикальная прямая (например, $x=3$) или парабола, заданная уравнением $x=y^2$.

6. Сколько общих точек может иметь с графиком функции любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс?

По определению, функция представляет собой правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргументу) $x$ из некоторого множества, называемого областью определения, ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$. Графиком функции $y = f(x)$ является множество всех точек координатной плоскости с координатами $(x, f(x))$.

Прямая, перпендикулярная оси абсцисс (оси $Ox$), является вертикальной прямой. Уравнение любой такой прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — это некоторая постоянная. Все точки, лежащие на этой прямой, имеют одну и ту же абсциссу, равную $c$.

Чтобы найти количество общих точек графика функции $y = f(x)$ и вертикальной прямой $x = c$, необходимо рассмотреть, сколько значений $y$ может соответствовать значению $x = c$.

Исходя из определения функции, возможны два варианта:

1. Если значение $x = c$ входит в область определения функции $f(x)$, то ему соответствует ровно одно значение $y = f(c)$. В этом случае прямая $x = c$ и график функции будут иметь ровно одну общую точку с координатами $(c, f(c))$.
2. Если значение $x = c$ не входит в область определения функции $f(x)$, то для него не существует соответствующего значения $y$. Следовательно, прямая $x = c$ и график функции не будут иметь общих точек, то есть их количество равно нулю.

Например, для функции $y = x^2$, область определения которой — все действительные числа, любая вертикальная прямая $x=c$ будет иметь с ее графиком (параболой) ровно одну общую точку. Для функции $y = \frac{1}{x}$, область определения которой — все действительные числа кроме $x=0$, прямая $x = 2$ имеет одну общую точку $(2, 0.5)$, а прямая $x=0$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ситуация, когда вертикальная прямая пересекает график более чем в одной точке, невозможна для функции, так как это означало бы, что одному значению $x$ соответствует несколько значений $y$, что противоречит самому определению функции. Этот принцип известен как тест вертикальной прямой для проверки, является ли кривая графиком функции.

Таким образом, любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, может иметь с графиком функции либо одну общую точку, либо ни одной.

Ответ: Ноль или одна.

1011. Пользуясь графиком функции $y = f(x)$, изображённым на рисунке 42, заполните таблицу.

x: -3, -2, 0, 2, 6, 7

f(x): (пусто), (пусто), (пусто), (пусто), (пусто), (пусто)

Рис. 42

Чтобы заполнить таблицу, для каждого заданного значения аргумента $x$ необходимо найти соответствующее ему значение функции $y = f(x)$ по предоставленному графику. Это значение является $y$-координатой точки на графике, у которой $x$-координата равна заданному значению.

При $x = -3$

Находим на оси абсцисс (горизонтальной оси) значение $x = -3$. Мысленно проводим вертикальную линию вверх до пересечения с графиком функции. Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси ординат (вертикальной оси). Эта линия попадает в точку $y = 3$. Таким образом, при $x = -3$ значение функции равно 3.

Ответ: $f(-3) = 3$.

При $x = -2$

Находим на оси абсцисс значение $x = -2$. Проводим вертикальную линию вверх до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси ординат. Линия попадает в точку $y = 4$. Следовательно, при $x = -2$ значение функции равно 4.

Ответ: $f(-2) = 4$.

При $x = 0$

Значение $x = 0$ соответствует началу координат. Находим точку пересечения графика с осью ординат. Эта точка имеет координату $y = 5$. Значит, при $x = 0$ значение функции равно 5.

Ответ: $f(0) = 5$.

При $x = 2$

Находим на оси абсцисс значение $x = 2$. Проводим вертикальную линию вверх до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси ординат. Линия попадает в точку $y = 3$. Это означает, что при $x = 2$ значение функции равно 3.

Ответ: $f(2) = 3$.

При $x = 6$

Находим на оси абсцисс значение $x = 6$. Видим, что график функции пересекает ось абсцисс в этой точке. Это значит, что $y$-координата в этой точке равна 0. Таким образом, при $x = 6$ значение функции равно 0.

Ответ: $f(6) = 0$.

При $x = 7$

Находим на оси абсцисс значение $x = 7$. Проводим вертикальную линию вверх до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси ординат. Линия попадает в точку $y = 2$. Следовательно, при $x = 7$ значение функции равно 2.

Ответ: $f(7) = 2$.

Заполненная таблица выглядит следующим образом: