Страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

991. Составьте с шагом 1 таблицу значений функции, заданной формулой $y = x^3 - 1$, определённой на промежутке $[-3; 2]$.

Для составления таблицы значений функции $y = x^3 - 1$ на промежутке $[-3; 2]$ с шагом 1, необходимо вычислить значения $y$ для каждого целого значения $x$ из этого промежутка.

Аргумент $x$ будет принимать следующие значения: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Теперь последовательно вычислим соответствующие значения функции $y$ для каждого значения $x$:

При $x = -3$:
$y = (-3)^3 - 1 = -27 - 1 = -28$

При $x = -2$:
$y = (-2)^3 - 1 = -8 - 1 = -9$

При $x = -1$:
$y = (-1)^3 - 1 = -1 - 1 = -2$

При $x = 0$:
$y = 0^3 - 1 = 0 - 1 = -1$

При $x = 1$:
$y = 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0$

При $x = 2$:
$y = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$

Сведем полученные пары значений $(x, y)$ в таблицу.

Ответ:

992. Функция задана формулой $y = 0{,}2x - 5$. Заполните таблицу соответствующих значений $x$ и $y$.

x | 4 | | -1,5 | | -3

y | | 2 | | -1,4 |

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо использовать заданную формулу функции $y = 0,2x - 5$. В каждом столбце таблицы мы будем либо вычислять значение $y$ по известному $x$, либо находить значение $x$ по известному $y$.

1. Найдем значение y при x = 4

Подставляем значение $x = 4$ в формулу функции:

$y = 0,2 \cdot 4 - 5$

$y = 0,8 - 5$

$y = -4,2$

Ответ: -4,2

2. Найдем значение x при y = 2

Подставляем значение $y = 2$ в формулу и решаем полученное уравнение относительно $x$:

$2 = 0,2x - 5$

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $x$:

$0,2x = 2 + 5$

$0,2x = 7$

Теперь находим $x$:

$x = \frac{7}{0,2} = \frac{70}{2} = 35$

Ответ: 35

3. Найдем значение y при x = -1,5

Подставляем значение $x = -1,5$ в формулу функции:

$y = 0,2 \cdot (-1,5) - 5$

$y = -0,3 - 5$

$y = -5,3$

Ответ: -5,3

4. Найдем значение x при y = -1,4

Подставляем значение $y = -1,4$ в формулу и решаем уравнение:

$-1,4 = 0,2x - 5$

$0,2x = 5 - 1,4$

$0,2x = 3,6$

Находим $x$:

$x = \frac{3,6}{0,2} = \frac{36}{2} = 18$

Ответ: 18

5. Найдем значение y при x = -3

Подставляем значение $x = -3$ в формулу функции:

$y = 0,2 \cdot (-3) - 5$

$y = -0,6 - 5$

$y = -5,6$

Ответ: -5,6

Заполнив все пустые ячейки, получаем следующую таблицу:

993. Дана функция $y = 8 - \frac{1}{7}x$. Заполните таблицу.

x: 14, -1,4

y: 0, 9

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо поочередно подставлять известные значения переменных $x$ и $y$ в уравнение функции $y = 8 - \frac{1}{7}x$ и вычислять соответствующие неизвестные значения.

Для первого пустого столбца (дано x = 14)

Находим значение $y$, подставив $x = 14$ в уравнение функции:

$y = 8 - \frac{1}{7} \cdot 14$

$y = 8 - \frac{14}{7}$

$y = 8 - 2$

$y = 6$

Ответ: 6.

Для второго пустого столбца (дано y = 0)

Находим значение $x$, подставив $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = 8 - \frac{1}{7}x$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{1}{7}x = 8$

Умножим обе части уравнения на 7:

$x = 8 \cdot 7$

$x = 56$

Ответ: 56.

Для третьего пустого столбца (дано x = -1,4)

Находим значение $y$, подставив $x = -1,4$ в уравнение функции:

$y = 8 - \frac{1}{7} \cdot (-1,4)$

Умножение двух отрицательных чисел дает положительное:

$y = 8 + \frac{1,4}{7}$

$y = 8 + 0,2$

$y = 8,2$

Ответ: 8,2.

Для четвертого пустого столбца (дано y = 9)

Находим значение $x$, подставив $y = 9$ в уравнение функции:

$9 = 8 - \frac{1}{7}x$

Перенесем $\frac{1}{7}x$ влево, а 9 вправо с противоположными знаками:

$\frac{1}{7}x = 8 - 9$

$\frac{1}{7}x = -1$

Умножим обе части уравнения на 7:

$x = -1 \cdot 7$

$x = -7$

Ответ: -7.

В результате получаем заполненную таблицу:

994. Даны функции $g(x) = \frac{20}{x} - 3$ и $h(x) = 8 - 3x$. Сравните:

1) $g(1)$ и $h(1)$;

2) $g(5)$ и $h(2)$;

3) $g(-2)$ и $h(6)$.

Даны функции $g(x) = \frac{20}{x} - 3$ и $h(x) = 8 - 3x$. Чтобы сравнить значения функций в указанных точках, необходимо вычислить эти значения.

1) g(1) и h(1);

Найдём значение функции $g(x)$ при $x=1$:

$g(1) = \frac{20}{1} - 3 = 20 - 3 = 17$

Найдём значение функции $h(x)$ при $x=1$:

$h(1) = 8 - 3 \cdot 1 = 8 - 3 = 5$

Теперь сравним полученные результаты: $17 > 5$.

Следовательно, $g(1) > h(1)$.

Ответ: $g(1) > h(1)$.

2) g(5) и h(2);

Найдём значение функции $g(x)$ при $x=5$:

$g(5) = \frac{20}{5} - 3 = 4 - 3 = 1$

Найдём значение функции $h(x)$ при $x=2$:

$h(2) = 8 - 3 \cdot 2 = 8 - 6 = 2$

Сравним полученные результаты: $1 < 2$.

Следовательно, $g(5) < h(2)$.

Ответ: $g(5) < h(2)$.

3) g(-2) и h(6).

Найдём значение функции $g(x)$ при $x=-2$:

$g(-2) = \frac{20}{-2} - 3 = -10 - 3 = -13$

Найдём значение функции $h(x)$ при $x=6$:

$h(6) = 8 - 3 \cdot 6 = 8 - 18 = -10$

Сравним полученные результаты: $-13 < -10$.

Следовательно, $g(-2) < h(6)$.

Ответ: $g(-2) < h(6)$.

995. Дана функция $f(x) = \begin{cases} -2x + 1, & \text{если } x \le -2, \\ x^2, & \text{если } -2 < x < 3, \\ 6, & \text{если } x \ge 3. \end{cases}$

Найдите:

1) $f(-3)$;

2) $f(-2)$;

3) $f(2)$;

4) $f(3)$;

5) $f(2,9)$;

6) $f(8,1)$.

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} -2x + 1, & \text{если } x \le -2, \\ x^2, & \text{если } -2 < x < 3, \\ 6, & \text{если } x \ge 3. \end{cases}$
Чтобы найти значение функции в заданной точке, необходимо сначала определить, какому из трех интервалов принадлежит значение аргумента $x$, а затем подставить это значение в соответствующую данному интервалу формулу.

1) f(-3)
Значение аргумента $x = -3$. Это значение удовлетворяет условию $x \le -2$. Следовательно, для вычисления значения функции используем первую формулу: $f(x) = -2x + 1$.
Подставляем $x = -3$:
$f(-3) = -2 \cdot (-3) + 1 = 6 + 1 = 7$.
Ответ: 7

2) f(-2)
Значение аргумента $x = -2$. Это значение удовлетворяет условию $x \le -2$ (поскольку $-2 = -2$). Используем первую формулу: $f(x) = -2x + 1$.
Подставляем $x = -2$:
$f(-2) = -2 \cdot (-2) + 1 = 4 + 1 = 5$.
Ответ: 5

3) f(2)
Значение аргумента $x = 2$. Это значение удовлетворяет условию $-2 < x < 3$ (поскольку $-2 < 2 < 3$). Используем вторую формулу: $f(x) = x^2$.
Подставляем $x = 2$:
$f(2) = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

4) f(3)
Значение аргумента $x = 3$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge 3$ (поскольку $3 = 3$). Используем третью формулу: $f(x) = 6$.
Для любого $x$ из этого промежутка значение функции постоянно и равно 6.
$f(3) = 6$.
Ответ: 6

5) f(2,9)
Значение аргумента $x = 2,9$. Это значение удовлетворяет условию $-2 < x < 3$ (поскольку $-2 < 2,9 < 3$). Используем вторую формулу: $f(x) = x^2$.
Подставляем $x = 2,9$:
$f(2,9) = (2,9)^2 = 8,41$.
Ответ: 8,41

6) f(8,1)
Значение аргумента $x = 8,1$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge 3$ (поскольку $8,1 > 3$). Используем третью формулу: $f(x) = 6$.
Для любого $x$ из этого промежутка значение функции постоянно и равно 6.
$f(8,1) = 6$.
Ответ: 6

996. Найдите значения функции $y = \begin{cases} -2x + 4, & \text{если } x > 0, \\ 0,1x - 5, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$ соответству-ющие аргументам:

1) 3;

2) 0,001;

3) 0;

4) -8.

Данная функция является кусочно-заданной. Это означает, что для разных значений аргумента $x$ используются разные формулы для вычисления значения функции $y$.

$ y = \begin{cases} -2x + 4, & \text{если } x > 0 \\ 0,1x - 5, & \text{если } x \le 0 \end{cases} $

Чтобы найти значение функции для заданного аргумента, необходимо сначала определить, какому из двух условий ($x > 0$ или $x \le 0$) удовлетворяет значение аргумента. Затем подставить это значение в соответствующую формулу.

1) 3;
Значение аргумента $x = 3$.
Так как $3 > 0$, используем первую формулу: $y = -2x + 4$.
Подставляем значение $x=3$ в эту формулу:
$y = -2 \cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2$.
Ответ: -2

2) 0,001;
Значение аргумента $x = 0,001$.
Так как $0,001 > 0$, используем первую формулу: $y = -2x + 4$.
Подставляем значение $x=0,001$ в эту формулу:
$y = -2 \cdot 0,001 + 4 = -0,002 + 4 = 3,998$.
Ответ: 3,998

3) 0;
Значение аргумента $x = 0$.
Так как $0 \le 0$, используем вторую формулу: $y = 0,1x - 5$.
Подставляем значение $x=0$ в эту формулу:
$y = 0,1 \cdot 0 - 5 = 0 - 5 = -5$.
Ответ: -5

4) -8.
Значение аргумента $x = -8$.
Так как $-8 \le 0$, используем вторую формулу: $y = 0,1x - 5$.
Подставляем значение $x=-8$ в эту формулу:
$y = 0,1 \cdot (-8) - 5 = -0,8 - 5 = -5,8$.
Ответ: -5,8

997. Функция задана с помощью таблицы.

1) Какие числа составляют область определения этой функции?

2) Задайте эту функцию описательно и формулой.

1) Какие числа составляют область определения этой функции?

Область определения функции — это множество всех значений, которые принимает независимая переменная (аргумент), в данном случае $x$. Согласно данным в таблице, переменная $x$ принимает значения 2, 4, 6 и 8.

Ответ: область определения функции — это множество чисел {2, 4, 6, 8}.

2) Задайте эту функцию описательно и формулой.

Чтобы задать функцию, необходимо найти правило, по которому значениям аргумента $x$ сопоставляются значения функции $y$.

Описательно: Проанализируем каждую пару значений ($x$, $y$) из таблицы. Найдем разность между значением функции и значением аргумента:
$5 - 2 = 3$
$7 - 4 = 3$
$9 - 6 = 3$
$11 - 8 = 3$
Разность во всех случаях постоянна и равна 3. Это означает, что каждому значению аргумента $x$ из области определения соответствует значение функции $y$, которое на 3 больше, чем сам аргумент.

Формулой: Установленная выше закономерность ($y$ на 3 больше, чем $x$) может быть записана в виде математического равенства. Эта зависимость выражается формулой линейной функции: $y = x + 3$. Проверим правильность этой формулы для всех пар значений из таблицы:
Если $x=2$, то $y = 2 + 3 = 5$ (верно).
Если $x=4$, то $y = 4 + 3 = 7$ (верно).
Если $x=6$, то $y = 6 + 3 = 9$ (верно).
Если $x=8$, то $y = 8 + 3 = 11$ (верно).
Формула верна для всех заданных точек.

Ответ: описательно — каждому значению аргумента $x$ из множества {2, 4, 6, 8} ставится в соответствие значение функции, которое на 3 больше значения аргумента; формулой — $y = x + 3$.

998. Функция задана с помощью таблицы.

x: 1 3 5 7 9

y: 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5

1) Какие числа составляют область определения этой функции?

2) Задайте эту функцию описательно и формулой.

1) Какие числа составляют область определения этой функции?
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых функция определена. Поскольку функция задана с помощью таблицы, ее область определения состоит из всех значений $x$, которые перечислены в верхней строке таблицы.
В таблице указаны следующие значения для $x$: 1, 3, 5, 7, 9.
Следовательно, эти числа и составляют область определения данной функции.
Ответ: Область определения функции — это множество чисел {1, 3, 5, 7, 9}.

2) Задайте эту функцию описательно и формулой.
Для того чтобы задать функцию описательно и с помощью формулы, необходимо найти закономерность между значениями $x$ и соответствующими им значениями $y$. Проанализируем данные из таблицы:
- при $x = 1$, $y = 0,5$; - при $x = 3$, $y = 1,5$; - при $x = 5$, $y = 2,5$; - при $x = 7$, $y = 3,5$; - при $x = 9$, $y = 4,5$.
В каждой паре можно заметить, что значение $y$ ровно в два раза меньше, чем значение $x$.
$1 \div 2 = 0,5$
$3 \div 2 = 1,5$
$5 \div 2 = 2,5$
$7 \div 2 = 3,5$
$9 \div 2 = 4,5$
Таким образом, мы можем сформулировать правило.
Описательно: Каждому значению аргумента $x$ из области определения ставится в соответствие значение функции $y$, которое равно половине значения аргумента.
Формулой: Эту зависимость можно выразить в виде уравнения. Если $y$ вдвое меньше $x$, то $y$ равен $x$, разделенному на 2. Формула выглядит так:
$y = \frac{x}{2}$
Эту же формулу можно записать как $y = 0.5x$.
Ответ: Описательно: значение функции равно половине значения аргумента. Формулой: $y = \frac{x}{2}$.