Страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

961. В начале нагревания температура воды была 6 °C. Во время нагревания температура воды повышалась каждую минуту на 2 °C.

1) Запишите формулу зависимости температуры T воды от времени t её нагревания.

2) Составьте таблицу значений температуры T за время нагревания от 0 мин до 10 мин с шагом 1 мин.

3) Постройте график изменения температуры воды в зависимости от изменения времени нагревания в течение первых 10 мин.

1) Запишите формулу зависимости температуры T воды от времени t её нагревания.

Пусть $T$ — это температура воды в градусах Цельсия (°C), а $t$ — это время нагревания в минутах (мин).
Согласно условию, начальная температура воды, то есть температура в момент времени $t=0$, составляет 6 °C.
Также известно, что температура воды увеличивается на 2 °C каждую минуту. Это постоянная скорость нагрева.
За время $t$ минут общее увеличение температуры составит $2 \cdot t$ °C.
Чтобы найти температуру $T$ в любой момент времени $t$, нужно к начальной температуре прибавить общее увеличение температуры за это время.
Таким образом, зависимость является линейной и описывается формулой:
$T = 6 + 2t$
или, в более привычном виде для линейной функции:
$T = 2t + 6$
Ответ: $T = 2t + 6$.

2) Составьте таблицу значений температуры T за время нагревания от 0 мин до 10 мин с шагом 1 мин.

Для составления таблицы воспользуемся полученной формулой $T = 2t + 6$. Будем подставлять значения времени $t$ от 0 до 10 с шагом 1 и вычислять соответствующую температуру $T$.
- При $t = 0$: $T = 2 \cdot 0 + 6 = 6$ °C
- При $t = 1$: $T = 2 \cdot 1 + 6 = 8$ °C
- При $t = 2$: $T = 2 \cdot 2 + 6 = 10$ °C
- ... и так далее до $t = 10$.
- При $t = 10$: $T = 2 \cdot 10 + 6 = 26$ °C
Сведем все вычисленные значения в таблицу:

Ответ: Представленная выше таблица значений.

3) Постройте график изменения температуры воды в зависимости от изменения времени нагревания в течение первых 10 мин.

График зависимости $T$ от $t$ является графиком линейной функции $T = 2t + 6$. Для построения прямой линии достаточно двух точек. Возьмем крайние точки из нашей таблицы:
- Начальная точка (при $t=0$): $(0, 6)$.
- Конечная точка (при $t=10$): $(10, 26)$.
Построим систему координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) отложим время $t$ в минутах, а по вертикальной оси (оси ординат) — температуру $T$ в °C. Отметим на плоскости точки $(0, 6)$ и $(10, 26)$ и соединим их отрезком прямой. Этот отрезок и будет искомым графиком.

Ответ: График представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки с координатами (0, 6) и (10, 26).

962. Прямолинейная дорога проходит мимо туристического лагеря. Турист, находясь на расстоянии 5 км от лагеря, начал двигаться по этой дороге со скоростью 4 км/ч, удаляясь от лагеря.

1) Найдите расстояние $s$ от лагеря, на котором будет находиться турист через $t$ ч после начала движения.

2) Заполните таблицу значений $s$.

3) Пользуясь заполненной таблицей, постройте график зависимости расстояния до лагеря от времени движения туриста.

t, ч 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

S, км

1) Найдите расстояние s от лагеря, на котором будет находиться турист через t ч после начала движения.

По условию задачи, турист начинает движение, находясь на расстоянии 5 км от лагеря. Это начальное расстояние при времени $t = 0$. Обозначим его как $s_0 = 5$ км.

Скорость туриста постоянна и равна $v = 4$ км/ч. За время $t$ турист пройдет расстояние, равное произведению скорости на время: $v \cdot t = 4t$ км.

Так как турист удаляется от лагеря, общее расстояние $s$ от него до лагеря через время $t$ будет складываться из начального расстояния и расстояния, которое он прошел. Таким образом, формула зависимости расстояния $s$ от времени $t$ будет следующей: $s(t) = s_0 + v \cdot t$

Подставляя известные значения, получаем: $s(t) = 5 + 4t$

Ответ: $s = 5 + 4t$.

2) Заполните таблицу значений s.

Чтобы заполнить таблицу, будем использовать выведенную в первом пункте формулу $s = 5 + 4t$ для каждого заданного значения времени $t$.

• При $t = 0$: $s = 5 + 4 \cdot 0 = 5 + 0 = 5$ км.
• При $t = 0,25$: $s = 5 + 4 \cdot 0,25 = 5 + 1 = 6$ км.
• При $t = 0,5$: $s = 5 + 4 \cdot 0,5 = 5 + 2 = 7$ км.
• При $t = 0,75$: $s = 5 + 4 \cdot 0,75 = 5 + 3 = 8$ км.
• При $t = 1$: $s = 5 + 4 \cdot 1 = 5 + 4 = 9$ км.
• При $t = 1,25$: $s = 5 + 4 \cdot 1,25 = 5 + 5 = 10$ км.
• При $t = 1,5$: $s = 5 + 4 \cdot 1,5 = 5 + 6 = 11$ км.
• При $t = 1,75$: $s = 5 + 4 \cdot 1,75 = 5 + 7 = 12$ км.
• При $t = 2$: $s = 5 + 4 \cdot 2 = 5 + 8 = 13$ км.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

3) Пользуясь заполненной таблицей, постройте график зависимости расстояния до лагеря от времени движения туриста.

Для построения графика зависимости $s$ от $t$ воспользуемся прямоугольной системой координат. На горизонтальной оси (оси абсцисс) будем откладывать время $t$ в часах, а на вертикальной оси (оси ординат) — расстояние $s$ в километрах.

Нанесем на координатную плоскость точки, координаты которых $(t; s)$ мы вычислили и записали в таблицу: $(0; 5)$, $(0,25; 6)$, $(0,5; 7)$, $(0,75; 8)$, $(1; 9)$, $(1,25; 10)$, $(1,5; 11)$, $(1,75; 12)$, $(2; 13)$.

Функция $s = 5 + 4t$ является линейной, поэтому ее график — прямая линия. Так как время не может быть отрицательным ($t \ge 0$), график будет представлять собой луч, который начинается в точке $(0; 5)$. Соединим отмеченные точки, чтобы получить этот луч.

Ответ: График зависимости расстояния от времени представляет собой луч, начинающийся в точке (0; 5) и проходящий через точки, рассчитанные в таблице, как показано на рисунке выше.

963. В экономических исследованиях часто используют кривую спроса.

Кривая спроса – это график, показывающий, как зависит спрос на товар от его цены.

В таблице приведена зависимость спроса на картофель в некотором регионе (в тысячах тонн) от цены 1 кг картофеля.

Представьте данные, приведённые в таблице, графически. Соединив полученные точки отрезками, постройте кривую спроса на картофель.

Для того чтобы построить кривую спроса, необходимо нанести на координатную плоскость точки, соответствующие данным из таблицы, и соединить их отрезками.

В данной задаче цена ($P$) является независимой переменной, а спрос ($Q$) — зависимой. Поэтому будем откладывать значения цены по горизонтальной оси (оси абсцисс), а значения спроса — по вертикальной оси (оси ординат).

Сопоставим каждой цене соответствующий ей спрос и получим точки с координатами ($P; Q$):

• При цене $P=12$ р., спрос $Q=15$ тыс. т. Координаты точки: $(12; 15)$.
• При цене $P=14$ р., спрос $Q=12$ тыс. т. Координаты точки: $(14; 12)$.
• При цене $P=16$ р., спрос $Q=10$ тыс. т. Координаты точки: $(16; 10)$.
• При цене $P=18$ р., спрос $Q=6$ тыс. т. Координаты точки: $(18; 6)$.
• При цене $P=20$ р., спрос $Q=4$ тыс. т. Координаты точки: $(20; 4)$.
• При цене $P=22$ р., спрос $Q=1$ тыс. т. Координаты точки: $(22; 1)$.

Далее выполним построение графика:

1. Начертим прямоугольную систему координат. Горизонтальную ось (ось абсцисс) назовем «Цена, р.», а вертикальную ось (ось ординат) — «Спрос, тыс. т».
2. Выберем удобный масштаб. Для оси цен можно выбрать единичный отрезок, равный 2 р. Для оси спроса — единичный отрезок, равный 2 тыс. т.
3. Отметим в построенной системе координат все шесть точек с указанными выше координатами.
4. Последовательно соединим отмеченные точки отрезками. Начинаем с точки $(12; 15)$, соединяем ее с $(14; 12)$, затем $(14; 12)$ с $(16; 10)$ и так далее до последней точки $(22; 1)$.

Полученная в результате построений ломаная линия является графическим представлением зависимости спроса на картофель от цены, то есть кривой спроса. График наглядно демонстрирует закон спроса: с ростом цены количество товара, которое потребители готовы купить, уменьшается.

Ответ: Кривая спроса на картофель представляет собой ломаную линию, построенную в системе координат «Цена-Спрос» и последовательно соединяющую точки с координатами $(12; 15)$, $(14; 12)$, $(16; 10)$, $(18; 6)$, $(20; 4)$ и $(22; 1)$.

964. В городском совете Солнечного города представлены две партии: партия знатоков и партия эрудитов. Всего в городском совете 20 мест. В таблице приведено количество депутатских мест, полученных партией знатоков в течение 8 последних выборов.

Выборы: 1 2 3 4 5 6 7 8

Количество депутатов от партии знатоков: 14 12 10 16 18 15 14 10

Рис. 31

График a: Оси $y$, $x$, точка 0.

a

График б: Оси $y$, $x$, точка 0.

б

График в: Оси $y$, $x$, точка 0.

в

1) Составьте аналогичную таблицу для партии эрудитов.

2) В одной системе координат представьте данные каждой таблицы графически. Соединив полученные точки отрезками, постройте «кривые популярности» каждой партии.

1)

В городском совете всего 20 депутатских мест. Эти места распределяются между двумя партиями: партией знатоков и партией эрудитов. Если известно количество мест, полученных партией знатоков, то количество мест для партии эрудитов можно найти, вычтя из общего числа мест (20) количество мест знатоков.

Пусть $N_{знатоков}$ — количество депутатов от партии знатоков, а $N_{эрудитов}$ — количество депутатов от партии эрудитов. Тогда справедливо равенство:

$N_{эрудитов} = 20 - N_{знатоков}$

Используя данные из предоставленной таблицы, выполним расчеты для партии эрудитов для каждых из 8 выборов:

• Выборы 1: $20 - 14 = 6$ мест
• Выборы 2: $20 - 12 = 8$ мест
• Выборы 3: $20 - 10 = 10$ мест
• Выборы 4: $20 - 16 = 4$ места
• Выборы 5: $20 - 18 = 2$ места
• Выборы 6: $20 - 15 = 5$ мест
• Выборы 7: $20 - 14 = 6$ мест
• Выборы 8: $20 - 10 = 10$ мест

На основе этих расчетов составим аналогичную таблицу для партии эрудитов.

Ответ:

2)

Для построения «кривых популярности» обеих партий воспользуемся прямоугольной системой координат. По горизонтальной оси (оси абсцисс $x$) будем откладывать номер выборов (от 1 до 8), а по вертикальной оси (оси ординат $y$) — количество полученных депутатских мест (от 0 до 20).

Для каждой партии определим набор точек $(x; y)$, где $x$ — номер выборов, а $y$ — количество мест.

Координаты точек для партии знатоков:

(1; 14), (2; 12), (3; 10), (4; 16), (5; 18), (6; 15), (7; 14), (8; 10).

Координаты точек для партии эрудитов (рассчитанные в пункте 1):

(1; 6), (2; 8), (3; 10), (4; 4), (5; 2), (6; 5), (7; 6), (8; 10).

«Кривая популярности» для каждой партии представляет собой ломаную линию, полученную путем последовательного соединения указанных точек отрезками. На одном графике будут построены две такие ломаные.

• Кривая партии знатоков начинается в точке (1; 14), опускается до (3; 10), затем резко поднимается до своего пика в точке (5; 18), после чего снова опускается до (8; 10).
• Кривая партии эрудитов начинается в точке (1; 6), поднимается до (3; 10), затем резко падает до своего минимума в точке (5; 2), после чего поднимается до (8; 10).

Обе кривые пересекаются в точках (3; 10) и (8; 10), где у партий было равное количество мест.

Ответ:

Для построения «кривых популярности» необходимо в системе координат отметить для каждой партии точки, соответствующие количеству мест на каждых выборах, и последовательно соединить их отрезками.
Координаты точек для «кривой популярности» партии знатоков: (1; 14), (2; 12), (3; 10), (4; 16), (5; 18), (6; 15), (7; 14), (8; 10).
Координаты точек для «кривой популярности» партии эрудитов: (1; 6), (2; 8), (3; 10), (4; 4), (5; 2), (6; 5), (7; 6), (8; 10).