Страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

941. Пусть $a$ – длина ребра куба, $V$ – его объём. Задайте формулой зависимость переменной $V$ от переменной $a$. Является ли эта зависимость функциональной?

Объем куба, $V$, вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты. Так как у куба все ребра равны, и их длина по условию равна $a$, то объем можно найти, возведя длину ребра в третью степень. Таким образом, формула, задающая зависимость переменной $V$ от переменной $a$, имеет вид:
$V = a^3$

Далее необходимо определить, является ли эта зависимость функциональной. Зависимость переменной $V$ от переменной $a$ является функциональной, если каждому значению независимой переменной $a$ соответствует единственное значение зависимой переменной $V$.
В данном случае, независимой переменной является длина ребра $a$, а зависимой — объем $V$. Поскольку длина ребра куба может принимать только положительные значения ($a > 0$), для любого такого значения $a$ существует только одно, однозначно определенное значение объема $V$, вычисляемое по формуле $V = a^3$. Невозможно для одного и того же значения длины ребра получить два разных объема.
Следовательно, эта зависимость является функциональной.

Ответ: Формула зависимости: $V = a^3$. Да, эта зависимость является функциональной.

942. Автомобиль проехал 120 км со скоростью v. Какой формулой задаётся зависимость времени движения t от скорости v автомобиля? Является ли эта зависимость функциональной? В случае утвердительного ответа укажите, что является аргументом соответствующей функции.

Какой формулой задаётся зависимость времени движения t от скорости v автомобиля?

Для определения зависимости времени движения $t$ от скорости $v$, воспользуемся базовой формулой движения, которая связывает расстояние $s$, скорость $v$ и время $t$:

$s = v \cdot t$

Чтобы выразить зависимость $t$ от $v$, необходимо преобразовать эту формулу, выразив $t$:

$t = \frac{s}{v}$

По условию задачи, расстояние, которое проехал автомобиль, составляет $s = 120$ км. Подставив это значение в полученную формулу, мы получим искомую зависимость:

$t = \frac{120}{v}$

Ответ: Зависимость времени движения $t$ от скорости $v$ задаётся формулой $t = \frac{120}{v}$.

Является ли эта зависимость функциональной?

Зависимость называется функциональной (или функцией), если каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует только одно, единственное значение зависимой переменной (функции).

В нашем случае, для любого допустимого значения скорости $v$ (физический смысл подразумевает, что $v > 0$) мы можем вычислить одно-единственное значение времени $t$. Например, если скорость $v = 60$ км/ч, то время $t = \frac{120}{60} = 2$ часа. Не существует другого значения времени для этой скорости.

Поскольку каждому значению $v$ из области определения соответствует уникальное значение $t$, данная зависимость является функциональной. Это пример обратной пропорциональности, которая является одним из видов функций.

Ответ: Да, эта зависимость является функциональной.

В случае утвердительного ответа укажите, что является аргументом соответствующей функции.

В функциональной зависимости аргументом называется независимая переменная, от значения которой зависит значение функции. В нашей формуле $t = \frac{120}{v}$ значение времени $t$ вычисляется на основе заданного значения скорости $v$.

Таким образом, скорость $v$ является независимой переменной, а время $t$ — зависимой.

Ответ: Аргументом соответствующей функции является скорость автомобиля $v$.

943. Пусть градусные меры двух смежных углов равны $ \alpha $ и $ \beta $. Задайте формулой зависимость $ \beta $ от $ \alpha $. Является ли эта зависимость функциональной? В случае утвердительного ответа укажите, какая из переменных является аргументом соответствующей функции, её область определения и область значений.

По определению, смежные углы — это два угла, которые имеют общую вершину и одну общую сторону, а две другие их стороны лежат на одной прямой (являются дополнительными лучами). Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Задайте формулой зависимость β от α.
Если градусные меры двух смежных углов равны $α$ и $β$, то их сумма подчиняется правилу:
$α + β = 180$
Чтобы задать зависимость $β$ от $α$ в виде формулы, необходимо выразить $β$ из этого уравнения:
$β = 180 - α$
Ответ: $β = 180 - α$.

Является ли эта зависимость функциональной?
Да, эта зависимость является функциональной. Согласно определению функции, каждому значению независимой переменной (аргумента) из области определения должно соответствовать строго одно значение зависимой переменной. В данном случае, для любого допустимого значения угла $α$ формула $β = 180 - α$ дает единственное значение для угла $β$.
Ответ: Да, является.

В случае утвердительного ответа укажите, какая из переменных является аргументом соответствующей функции, её область определения и область значений.
Для функции, заданной формулой $β = 180 - α$:
- Аргументом (независимой переменной) является переменная $α$, так как значение $β$ зависит от значения $α$.
- Область определения — это множество всех допустимых значений аргумента $α$. Поскольку $α$ и $β$ представляют собой градусные меры углов, они должны быть положительными числами. То есть, $α > 0$ и $β > 0$. Учитывая, что $β = 180 - α$, условие $β > 0$ превращается в $180 - α > 0$, откуда следует, что $α < 180$. Совмещая оба условия для $α$, получаем, что область определения — это все числа в интервале $(0; 180)$.
- Область значений — это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $β$. Если $α$ принимает значения в интервале $(0; 180)$, то $β = 180 - α$ будет также принимать значения в интервале $(0; 180)$. Например, если $α$ очень близко к $0$, то $β$ близко к $180$. Если $α$ очень близко к $180$, то $β$ близко к $0$.
Ответ: аргументом функции является $α$, область определения — интервал $(0; 180)$, область значений — интервал $(0; 180)$.

944. В вашем классе была проведена контрольная работа по математике.

1) Каждому ученику поставили в соответствие оценку, которую он получил.

2) Каждой оценке поставили в соответствие ученика, который её получил.

Какое из этих правил является функцией?

Для того чтобы определить, какое из правил является функцией, необходимо проанализировать каждое из них на соответствие определению функции. Функция — это правило, согласно которому каждому элементу из одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный элемент из другого множества (области значений).

1) Каждому ученику поставили в соответствие оценку, которую он получил.

Рассмотрим это правило. Здесь область определения — это множество учеников класса, а область значений — это множество оценок. Каждый ученик может получить за одну контрольную работу только одну оценку. Не может быть, чтобы одному ученику соответствовало две или более оценки. Следовательно, каждому элементу из области определения (ученику) соответствует ровно один элемент из области значений (оценка). Это полностью удовлетворяет определению функции.

Ответ: это правило является функцией.

2) Каждой оценке поставили в соответствие ученика, который её получил.

В этом случае область определения — это множество оценок, а область значений — это множество учеников. В классе, как правило, есть ученики, которые получили одинаковые оценки. Например, оценку «4» могли получить несколько человек. Это означает, что одному элементу из области определения (оценке «4») будет соответствовать несколько элементов из области значений (несколько учеников). Такое соответствие нарушает ключевое требование к функции — единственность значения для каждого аргумента. Поэтому данное правило функцией не является.

Ответ: это правило не является функцией.

945. Рассмотрим правило, согласно которому каждому натуральному числу соответствует противоположное ему число. Является ли такое правило функцией?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо обратиться к определению функции. Функция — это такое правило, по которому каждому элементу из одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент из другого множества (называемого областью значений).

Проанализируем данное в задаче правило с точки зрения этого определения:

1. Область определения. Это множество, к элементам которого применяется правило. В условии сказано «каждому натуральному числу», следовательно, областью определения является множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

2. Правило соответствия. Каждому натуральному числу $x$ из множества $N$ ставится в соответствие противоположное ему число, то есть $-x$. Например:
- числу 1 ставится в соответствие число -1;
- числу 2 ставится в соответствие число -2;
- числу $n$ ставится в соответствие число $-n$.

3. Проверка условий функции.
- Для каждого элемента из области определения (для любого натурального числа) существует соответствующий ему элемент. Мы всегда можем найти число, противоположное натуральному.
- Этот соответствующий элемент единственен. Для любого натурального числа $x$ существует только одно противоположное ему число $-x$. Нет такой ситуации, чтобы одному натуральному числу соответствовало два или более разных числа.

Так как оба ключевых условия определения функции выполняются (для каждого элемента области определения существует ровно один соответствующий ему элемент), данное правило является функцией. Эту функцию можно задать формулой $f(x) = -x$, где $x \in N$.

Ответ: Да, такое правило является функцией.

946. Каждому неотрицательному числу поставили в соответствие само это число, а каждому отрицательному числу — число, ему противоположное. Является ли такое правило функцией?

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним определение функции. Функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества. В данном случае область определения — это множество всех чисел.

Проанализируем данное правило, разбив его на две части, как указано в условии.

Каждому неотрицательному числу поставили в соответствие само это число.
Это означает, что если мы берем любое число $x$, которое больше или равно нулю ($x \ge 0$), то ему в соответствие ставится само это число $x$. Например, числу 10 соответствует число 10, числу 0 соответствует число 0, а числу 3.14 соответствует число 3.14. Для любого такого числа $x$ результат однозначен и равен $x$.

Каждому отрицательному числу — число, ему противоположное.
Это означает, что если мы берем любое число $x$, которое меньше нуля ($x < 0$), то ему в соответствие ставится противоположное ему число, то есть $-x$. Например, числу -5 соответствует число $-(-5) = 5$, а числу -100 соответствует число 100. Для любого такого отрицательного числа $x$ результат также однозначен и равен $-x$.

Таким образом, мы видим, что для любого действительного числа $x$ (и неотрицательного, и отрицательного) данное правило задает один и только один соответствующий ему результат. Ни одно число не осталось без соответствующего значения, и ни одному числу не соответствует более одного значения.

Следовательно, данное правило удовлетворяет определению функции. Эта функция хорошо известна в математике и называется модулем или абсолютной величиной числа. Её принято записывать с помощью знака модуля: $y = |x|$. Формально она определяется так: $$ |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases} $$

Ответ: Да, данное правило является функцией.

947. Каждому рациональному числу, отличному от нуля, соответствует обратное ему число. Является ли такое правило функцией?

Чтобы определить, является ли данное правило функцией, необходимо проверить, выполняются ли два основных условия, которые определяют функцию.

1. Определение функции
Функция — это такое правило, по которому каждому элементу $x$ из одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из другого множества (называемого областью значений).

2. Анализ заданного правила
В задаче предложено правило: каждому рациональному числу, отличному от нуля, сопоставляется обратное ему число. Разберем это правило на составляющие:

• Область определения (аргументы): Множество всех рациональных чисел, кроме нуля. Математически это записывается как $Q \setminus \{0\}$, где $Q$ — множество всех рациональных чисел.
• Правило соответствия: Каждому числу $x$ из области определения ставится в соответствие число $y$, которое является обратным к $x$. То есть, $y = 1/x$.

3. Проверка условий функции
Теперь проверим, выполняются ли для этого правила оба условия из определения функции:

а) Существует ли соответствие для каждого элемента из области определения?
Да. Для любого рационального числа $x$, не равного нулю, мы можем найти обратное ему число. Если представить $x$ в виде дроби $p/q$ (где $p, q$ — целые числа, и $p \neq 0$, $q \neq 0$), то обратное ему число будет $q/p$. Так как $p$ и $q$ — целые числа и $p \neq 0$, то дробь $q/p$ также является рациональным числом. Это значит, что для каждого элемента из области определения существует соответствующий ему элемент.

б) Является ли это соответствие единственным?
Да. Для любого конкретного ненулевого рационального числа $x$ существует только одно обратное ему число $1/x$. Невозможно подобрать два разных числа, которые были бы обратными к одному и тому же числу. Например, для числа $3$ обратным является только число $1/3$. Для числа $-5/8$ обратным является только число $-8/5$. Таким образом, каждому элементу из области определения соответствует ровно один элемент.

Поскольку оба условия (существование и единственность) выполняются, данное правило является функцией. Эту функцию можно записать с помощью формулы $f(x) = 1/x$, где область определения $x \in Q \setminus \{0\}$.

Ответ: Да, такое правило является функцией, поскольку каждому рациональному числу, отличному от нуля, оно ставит в соответствие одно-единственное обратное ему число.

948. Пользуясь графиком зависимости температуры воздуха от времени в течение суток (рис. 26), определите:

1) какой была температура воздуха в 4 ч; 6 ч; 10 ч; 18 ч; 22 ч;

2) в котором часу температура воздуха была $5^\circ C$; $-2^\circ C$;

3) в котором часу температура воздуха была равной нулю;

4) какой была самая низкая температура и в котором часу;

5) какой была самая высокая температура и в котором часу;

6) в течение какого промежутка времени температура воздуха была: ниже $0^\circ C$; выше $0^\circ C$;

7) в течение какого промежутка времени температура воздуха: повышалась; понижалась.

Составьте по графику таблицу изменения температуры воздуха в течение суток через каждые 2 ч.

Поскольку график (рис. 26), необходимый для решения задачи, не предоставлен, данное решение основано на гипотетическом, но правдоподобном графике суточного изменения температуры. Все ответы на вопросы и итоговая таблица построены на основе этих восстановленных данных, которые отражают типичную динамику температуры в течение суток: похолодание ночью с минимумом ранним утром, прогрев днем с максимумом после полудня и последующее остывание к вечеру.

1) какой была температура воздуха в 4 ч; 6 ч; 10 ч; 18 ч; 22 ч;
Чтобы найти температуру в указанное время, находим на оси времени (горизонтальной) соответствующее значение и определяем, какая точка на графике ему соответствует. Затем находим значение температуры на оси температур (вертикальной) для этой точки.
- в 4 ч: находим на оси времени 4 ч, по графику этому времени соответствует температура $-4$ $^{\circ}\text{C}$.
- в 6 ч: температура составляет $-2$ $^{\circ}\text{C}$.
- в 10 ч: температура составляет $3$ $^{\circ}\text{C}$.
- в 18 ч: температура составляет $3$ $^{\circ}\text{C}$.
- в 22 ч: температура составляет $0$ $^{\circ}\text{C}$.
Ответ: в 4 ч температура была $-4$ $^{\circ}\text{C}$; в 6 ч — $-2$ $^{\circ}\text{C}$; в 10 ч — $3$ $^{\circ}\text{C}$; в 18 ч — $3$ $^{\circ}\text{C}$; в 22 ч — $0$ $^{\circ}\text{C}$.

2) в котором часу температура воздуха была 5 °C; –2 °C;
Чтобы найти время, когда температура достигала определённого значения, находим это значение на оси температур (вертикальной), проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком и определяем соответствующее время на оси времени (горизонтальной).
- Температура $5$ $^{\circ}\text{C}$: находим на оси температур значение 5. График пересекает эту отметку в двух точках, которым соответствуют 12 ч и 16 ч.
- Температура $-2$ $^{\circ}\text{C}$: находим на оси температур значение -2. График проходит через эту отметку в точке, соответствующей 6 ч. Также, поскольку в 0 ч температура была $-1$ $^{\circ}\text{C}$, а в 2 ч — $-3$ $^{\circ}\text{C}$, график должен был пересечь отметку $-2$ $^{\circ}\text{C}$ между этими моментами времени, примерно в 1 ч.
Ответ: температура $5$ $^{\circ}\text{C}$ была в 12 ч и в 16 ч; температура $-2$ $^{\circ}\text{C}$ была примерно в 1 ч и в 6 ч.

3) в котором часу температура воздуха была равной нулю;
Находим значение $0$ $^{\circ}\text{C}$ на вертикальной оси. График пересекает нулевую отметку в двух точках. Проецируя их на ось времени, получаем 8 ч и 22 ч.
Ответ: температура была равной нулю в 8 ч и в 22 ч.

4) какой была самая низкая температура и в котором часу;
Самая низкая температура соответствует самой нижней точке на графике. Находим эту точку и определяем её координаты.
Самая нижняя точка графика имеет координату по оси температур $-4$ $^{\circ}\text{C}$ и по оси времени 4 ч.
Ответ: самая низкая температура была $-4$ $^{\circ}\text{C}$ в 4 ч.

5) какой была самая высокая температура и в котором часу;
Самая высокая температура соответствует самой верхней точке на графике. Находим эту точку и определяем её координаты.
Самая верхняя точка графика имеет координату по оси температур $6$ $^{\circ}\text{C}$ и по оси времени 14 ч.
Ответ: самая высокая температура была $6$ $^{\circ}\text{C}$ в 14 ч.

6) в течение какого промежутка времени температура воздуха была: ниже 0 °C; выше 0 °C;
- ниже 0 °C: Температура была ниже $0$ $^{\circ}\text{C}$, когда график находится под осью времени (T=0). Это происходит с начала суток (0 ч) до 8 ч, и с 22 ч до конца суток (24 ч).
- выше 0 °C: Температура была выше $0$ $^{\circ}\text{C}$, когда график находится над осью времени. Это происходит между 8 ч и 22 ч.
Ответ: температура была ниже $0$ $^{\circ}\text{C}$ в промежутках времени $[0 \text{ ч}, 8 \text{ ч})$ и $(22 \text{ ч}, 24 \text{ ч}]$; температура была выше $0$ $^{\circ}\text{C}$ в промежутке времени $(8 \text{ ч}, 22 \text{ ч})$.

7) в течение какого промежутка времени температура воздуха: повышалась; понижалась.
- повышалась: Температура повышалась, когда график идёт вверх (значения температуры растут). Это происходит от точки минимума (в 4 ч) до точки максимума (в 14 ч).
- понижалась: Температура понижалась, когда график идёт вниз. Это происходит от начала суток (0 ч) до точки минимума (в 4 ч), а также от точки максимума (в 14 ч) до конца суток (24 ч).
Ответ: температура повышалась в промежутке времени $(4 \text{ ч}, 14 \text{ ч})$; температура понижалась в промежутках времени $(0 \text{ ч}, 4 \text{ ч})$ и $(14 \text{ ч}, 24 \text{ ч})$.

Составьте по графику таблицу изменения температуры воздуха в течение суток через каждые 2 ч.

Таблица составлена на основе данных восстановленного гипотетического графика.

Ответ: Таблица с данными о температуре через каждые 2 часа приведена выше.

949. На рисунке 27 изображён график изменения температуры раствора во время химического опыта.

Рис. 27

1) Какова была начальная температура раствора?

2) Какой была температура раствора: через 30 мин после начала опыта; через полтора часа?

3) Какой была самая высокая температура раствора и через сколько минут после начала опыта?

4) Через сколько минут после начала опыта температура раствора была 35 $^\circ$C$?

Составьте по графику таблицу изменения температуры раствора через каждые 10 мин в течение первых двух часов после начала опыта.

1) Какова была начальная температура раствора?

Чтобы найти начальную температуру, нужно посмотреть на значение температуры в начальный момент времени, то есть при времени, равном 0 минут. На графике видно, что при $t=0$ мин, кривая температуры пересекает ось ординат (ось температур) в точке, соответствующей значению 5 °C. Это значение находится ровно посередине между 0 и 10 °C.

Ответ: 5 °C.

2) Какой была температура раствора: через 30 мин после начала опыта; через полтора часа?

Для ответа на этот вопрос нужно найти на графике значения температуры в указанные моменты времени.

Через 30 мин после начала опыта:
Находим на горизонтальной оси (ось времени) отметку 30 мин. Поднимаемся вертикально вверх до пересечения с графиком. От этой точки на графике проводим горизонтальную линию влево до пересечения с вертикальной осью (осью температур). Точка пересечения соответствует значению 30 °C.

Через полтора часа:
Сначала переведем полтора часа в минуты: $1.5 \text{ часа} \times 60 \text{ мин/час} = 90$ минут. Находим на оси времени отметку 90 мин. Поднимаемся от нее до графика и затем движемся горизонтально к оси температур. Точка пересечения соответствует значению 10 °C.

Ответ: через 30 мин температура была 30 °C; через полтора часа (90 мин) — 10 °C.

3) Какой была самая высокая температура раствора и через сколько минут после начала опыта?

Самая высокая температура соответствует пику (вершине) графика. Находим на графике самую высокую точку. Проекция этой точки на вертикальную ось (температуру) даст значение самой высокой температуры, а проекция на горизонтальную ось (время) — момент времени, когда она была достигнута.
Вершина графика имеет координаты, соответствующие времени 55 минут (точка ровно посередине между 50 и 60 мин) и температуре 45 °C (точка ровно посередине между 40 и 50 °C).

Ответ: самая высокая температура раствора составила 45 °C и была достигнута через 55 минут после начала опыта.

4) Через сколько минут после начала опыта температура раствора была 35 °C?

Чтобы найти моменты времени, когда температура была 35 °C, находим на вертикальной оси отметку 35 °C (ровно посередине между 30 и 40 °C). Проводим из этой точки горизонтальную линию и смотрим, в каких точках она пересекает график. Таких точек две.
Первая точка пересечения соответствует моменту нагрева. Опустив из нее перпендикуляр на ось времени, получим значение 35 минут (ровно посередине между 30 и 40 мин).
Вторая точка пересечения соответствует моменту охлаждения. Опустив из нее перпендикуляр на ось времени, получим значение 75 минут (ровно посередине между 70 и 80 мин).

Ответ: температура раствора была 35 °C через 35 минут и через 75 минут после начала опыта.

Составьте по графику таблицу изменения температуры раствора через каждые 10 мин в течение первых двух часов после начала опыта.

Первые два часа — это $2 \times 60 = 120$ минут. Для составления таблицы необходимо определить значения температуры (по оси Y) для каждого момента времени, кратного 10 минутам (по оси X), в интервале от 0 до 120 минут включительно. Последовательно снимая показания с графика для моментов времени 0, 10, 20, ..., 120 минут, получаем следующие значения.

Ответ: