Номер 947, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Связи между величинами. Функция. Глава 2. Функции - номер 947, страница 167.

Условие.

947. Каждому рациональному числу, отличному от нуля, соответствует обратное ему число. Является ли такое правило функцией?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, является ли данное правило функцией, необходимо проверить, выполняются ли два основных условия, которые определяют функцию.

1. Определение функции
Функция — это такое правило, по которому каждому элементу $x$ из одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из другого множества (называемого областью значений).

2. Анализ заданного правила
В задаче предложено правило: каждому рациональному числу, отличному от нуля, сопоставляется обратное ему число. Разберем это правило на составляющие:

• Область определения (аргументы): Множество всех рациональных чисел, кроме нуля. Математически это записывается как $Q \setminus \{0\}$, где $Q$ — множество всех рациональных чисел.
• Правило соответствия: Каждому числу $x$ из области определения ставится в соответствие число $y$, которое является обратным к $x$. То есть, $y = 1/x$.

3. Проверка условий функции
Теперь проверим, выполняются ли для этого правила оба условия из определения функции:

а) Существует ли соответствие для каждого элемента из области определения?
Да. Для любого рационального числа $x$, не равного нулю, мы можем найти обратное ему число. Если представить $x$ в виде дроби $p/q$ (где $p, q$ — целые числа, и $p \neq 0$, $q \neq 0$), то обратное ему число будет $q/p$. Так как $p$ и $q$ — целые числа и $p \neq 0$, то дробь $q/p$ также является рациональным числом. Это значит, что для каждого элемента из области определения существует соответствующий ему элемент.

б) Является ли это соответствие единственным?
Да. Для любого конкретного ненулевого рационального числа $x$ существует только одно обратное ему число $1/x$. Невозможно подобрать два разных числа, которые были бы обратными к одному и тому же числу. Например, для числа $3$ обратным является только число $1/3$. Для числа $-5/8$ обратным является только число $-8/5$. Таким образом, каждому элементу из области определения соответствует ровно один элемент.

Поскольку оба условия (существование и единственность) выполняются, данное правило является функцией. Эту функцию можно записать с помощью формулы $f(x) = 1/x$, где область определения $x \in Q \setminus \{0\}$.

Ответ: Да, такое правило является функцией, поскольку каждому рациональному числу, отличному от нуля, оно ставит в соответствие одно-единственное обратное ему число.