Номер 953, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Связи между величинами. Функция. Глава 2. Функции - номер 953, страница 170.

Условие.

953. Каждому действительному числу поставили в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта. Поясните, почему описанное правило является функцией. Найдите её область определения и область значений. Обозначив эту функцию буквой $f$, найдите $f(2)$, $f(-5)$, $f(0)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пояснение, почему описанное правило является функцией

Функция — это правило, согласно которому каждому элементу одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества.

В данной задаче каждому действительному числу $x$ (элементу области определения) сопоставляется расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта (точки $0$). Расстояние между точкой с координатой $x$ и точкой с координатой $0$ вычисляется по формуле $|x - 0|$, что равно $|x|$ (модуль или абсолютная величина числа $x$).

Для любого действительного числа $x$ его модуль $|x|$ имеет единственное, однозначно определённое значение. Например, если $x = 5$, то расстояние равно $|5| = 5$; если $x = -5$, то расстояние равно $|-5| = 5$. Не существует такого числа $x$, которому соответствовало бы два или более различных расстояния до начала отсчёта.

Поскольку каждому значению аргумента $x$ соответствует ровно одно значение $|x|$, это правило является функцией.

Ответ: Описанное правило является функцией, так как каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие единственное значение — его расстояние до начала отсчёта, равное $|x|$.

Нахождение области определения и области значений

Обозначим данную функцию буквой $f$, тогда её можно записать в виде формулы $f(x) = |x|$.

Область определения функции ($D(f)$) — это множество всех значений, которые может принимать аргумент $x$. Согласно условию, правило применяется к "каждому действительному числу". Это значит, что аргументом функции может быть любое действительное число.
Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел: $D(f) = \mathbb{R}$, или в виде промежутка $(-\infty; +\infty)$.

Область значений функции ($E(f)$) — это множество всех значений, которые может принимать сама функция $f(x)$. Так как функция $f(x) = |x|$ представляет собой расстояние, её значения не могут быть отрицательными. Модуль любого числа всегда является неотрицательным: $f(x) = |x| \ge 0$. При этом любое неотрицательное число достижимо (например, для любого $y \ge 0$ можно взять $x=y$, и тогда $f(y) = |y| = y$).
Следовательно, область значений — это множество всех неотрицательных действительных чисел: $E(f) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[0; +\infty)$.

Нахождение f(2), f(-5), f(0)

Используем формулу функции $f(x) = |x|$ для вычисления её значений в заданных точках:

1. Для $x=2$:
$f(2) = |2| = 2$

2. Для $x=-5$:
$f(-5) = |-5| = 5$

3. Для $x=0$:
$f(0) = |0| = 0$

Ответ: $f(2) = 2$, $f(-5) = 5$, $f(0) = 0$.