Страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 30

$S, \text{км}$

$t, \text{ч}$

952. Туристка вышла из базового лагеря и через некоторое время вернулась. На рисунке 30 изображён график движения туристки.

1) На каком расстоянии от лагеря была туристка через 10 ч после начала движения?

2) Сколько времени она потратила на остановку?

3) Через сколько часов после выхода туристка была на расстоянии 8 км от лагеря?

4) С какой скоростью шла туристка до остановки?

5) С какой скоростью шла туристка последние 2 ч?

1) На каком расстоянии от лагеря была туристка через 10 ч после начала движения?
Чтобы найти расстояние через 10 часов, необходимо на оси времени $t$ (горизонтальная ось) найти отметку «10». От этой точки нужно подняться вертикально до пересечения с графиком. Затем от точки пересечения провести горизонтальную линию влево до оси расстояний $S$ (вертикальная ось). Точка на оси $S$ соответствует расстоянию в 8 км.
Ответ: через 10 ч после начала движения туристка была на расстоянии 8 км от лагеря.

2) Сколько времени она потратила на остановку?
Остановка на графике представлена горизонтальным отрезком, так как во время остановки расстояние от лагеря не изменялось. По графику видно, что этот отрезок начинается в момент времени $t_1 = 4$ ч и заканчивается в момент времени $t_2 = 7$ ч. Продолжительность остановки можно рассчитать как разницу между временем окончания и временем начала остановки:
$ \Delta t = t_2 - t_1 = 7 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 3 \text{ ч} $
Ответ: туристка потратила на остановку 3 часа.

3) Через сколько часов после выхода туристка была на расстоянии 8 км от лагеря?
Для ответа на этот вопрос нужно найти на оси расстояний $S$ отметку «8 км» и провести через нее горизонтальную линию. Эта линия пересечет график движения в двух точках.
Первая точка пересечения находится на восходящем участке графика (туристка удаляется от лагеря). Если опустить из этой точки перпендикуляр на ось времени $t$, получим значение $t_1 = 2$ ч.
Вторая точка пересечения находится на нисходящем участке графика (туристка возвращается в лагерь). Перпендикуляр из этой точки на ось времени $t$ дает значение $t_2 = 10$ ч.
Ответ: туристка была на расстоянии 8 км от лагеря через 2 часа и через 10 часов после выхода.

4) С какой скоростью шла туристка до остановки?
Движение до остановки соответствует первому участку графика, от $t=0$ до $t=4$ ч. За это время туристка прошла расстояние $S=16$ км (от 0 км до 16 км). Скорость $v$ вычисляется по формуле $v = \frac{S}{t}$.
Пройденное расстояние: $S = 16 \text{ км}$.
Затраченное время: $t = 4 \text{ ч}$.
Скорость: $ v = \frac{16 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч} $
Ответ: до остановки туристка шла со скоростью 4 км/ч.

5) С какой скоростью шла туристка последние 2 ч?
Последние 2 часа движения — это временной интервал от $t_1 = 12$ ч до $t_2 = 14$ ч. Определим по графику, какое расстояние от лагеря было в эти моменты времени.
В момент времени $t_1 = 12$ ч расстояние составляло $S_1 = 4$ км.
В момент времени $t_2 = 14$ ч туристка вернулась в лагерь, поэтому расстояние стало $S_2 = 0$ км.
Расстояние, пройденное за эти 2 часа: $\Delta S = S_1 - S_2 = 4 - 0 = 4$ км.
Промежуток времени: $\Delta t = t_2 - t_1 = 14 - 12 = 2$ ч.
Скорость на этом участке равна: $ v = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{4 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 2 \text{ км/ч} $
Ответ: последние 2 часа туристка шла со скоростью 2 км/ч.

953. Каждому действительному числу поставили в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта. Поясните, почему описанное правило является функцией. Найдите её область определения и область значений. Обозначив эту функцию буквой $f$, найдите $f(2)$, $f(-5)$, $f(0)$.

Пояснение, почему описанное правило является функцией

Функция — это правило, согласно которому каждому элементу одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества.

В данной задаче каждому действительному числу $x$ (элементу области определения) сопоставляется расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта (точки $0$). Расстояние между точкой с координатой $x$ и точкой с координатой $0$ вычисляется по формуле $|x - 0|$, что равно $|x|$ (модуль или абсолютная величина числа $x$).

Для любого действительного числа $x$ его модуль $|x|$ имеет единственное, однозначно определённое значение. Например, если $x = 5$, то расстояние равно $|5| = 5$; если $x = -5$, то расстояние равно $|-5| = 5$. Не существует такого числа $x$, которому соответствовало бы два или более различных расстояния до начала отсчёта.

Поскольку каждому значению аргумента $x$ соответствует ровно одно значение $|x|$, это правило является функцией.

Ответ: Описанное правило является функцией, так как каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие единственное значение — его расстояние до начала отсчёта, равное $|x|$.

Нахождение области определения и области значений

Обозначим данную функцию буквой $f$, тогда её можно записать в виде формулы $f(x) = |x|$.

Область определения функции ($D(f)$) — это множество всех значений, которые может принимать аргумент $x$. Согласно условию, правило применяется к "каждому действительному числу". Это значит, что аргументом функции может быть любое действительное число.
Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел: $D(f) = \mathbb{R}$, или в виде промежутка $(-\infty; +\infty)$.

Область значений функции ($E(f)$) — это множество всех значений, которые может принимать сама функция $f(x)$. Так как функция $f(x) = |x|$ представляет собой расстояние, её значения не могут быть отрицательными. Модуль любого числа всегда является неотрицательным: $f(x) = |x| \ge 0$. При этом любое неотрицательное число достижимо (например, для любого $y \ge 0$ можно взять $x=y$, и тогда $f(y) = |y| = y$).
Следовательно, область значений — это множество всех неотрицательных действительных чисел: $E(f) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[0; +\infty)$.

Нахождение f(2), f(-5), f(0)

Используем формулу функции $f(x) = |x|$ для вычисления её значений в заданных точках:

1. Для $x=2$:
$f(2) = |2| = 2$

2. Для $x=-5$:
$f(-5) = |-5| = 5$

3. Для $x=0$:
$f(0) = |0| = 0$

Ответ: $f(2) = 2$, $f(-5) = 5$, $f(0) = 0$.

954. Рассмотрим функцию $g$, заданную следующим правилом: каждому однозначному натуральному числу поставили в соответствие последнюю цифру его квадрата.

1) Запишите, чему равно $g(7), g(3), g(1), g(9), g(4)$.

2) Найдите область определения и область значений функции.

Функция $g$ определена следующим правилом: каждому однозначному натуральному числу $x$ ставится в соответствие последняя цифра его квадрата, то есть $g(x)$ — это последняя цифра числа $x^2$.

1) Для того чтобы найти значения функции, необходимо возвести аргумент в квадрат и взять последнюю цифру результата.

• Для $g(7)$: $7^2 = 49$. Последняя цифра числа $49$ — это $9$. Следовательно, $g(7) = 9$.

• Для $g(3)$: $3^2 = 9$. Последняя цифра числа $9$ — это $9$. Следовательно, $g(3) = 9$.

• Для $g(1)$: $1^2 = 1$. Последняя цифра числа $1$ — это $1$. Следовательно, $g(1) = 1$.

• Для $g(9)$: $9^2 = 81$. Последняя цифра числа $81$ — это $1$. Следовательно, $g(9) = 1$.

• Для $g(4)$: $4^2 = 16$. Последняя цифра числа $16$ — это $6$. Следовательно, $g(4) = 6$.

Ответ: $g(7)=9, g(3)=9, g(1)=1, g(9)=1, g(4)=6$.

2) Найдем область определения и область значений функции $g$.

Область определения функции ($D(g)$) — это множество всех допустимых значений аргумента. Согласно условию, аргументами функции являются однозначные натуральные числа. Таким образом, область определения — это множество чисел от 1 до 9.

$D(g) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Область значений функции ($E(g)$) — это множество всех значений, которые принимает функция. Чтобы найти его, вычислим значение функции для каждого элемента из области определения:

• $g(1)$: последняя цифра $1^2 = 1$ равна $1$.

• $g(2)$: последняя цифра $2^2 = 4$ равна $4$.

• $g(3)$: последняя цифра $3^2 = 9$ равна $9$.

• $g(4)$: последняя цифра $4^2 = 16$ равна $6$.

• $g(5)$: последняя цифра $5^2 = 25$ равна $5$.

• $g(6)$: последняя цифра $6^2 = 36$ равна $6$.

• $g(7)$: последняя цифра $7^2 = 49$ равна $9$.

• $g(8)$: последняя цифра $8^2 = 64$ равна $4$.

• $g(9)$: последняя цифра $9^2 = 81$ равна $1$.

Объединив все полученные уникальные значения, получим область значений функции:

$E(g) = \{1, 4, 5, 6, 9\}$.

Ответ: область определения $D(g) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$; область значений $E(g) = \{1, 4, 5, 6, 9\}$.

955. Рассмотрим правило, по которому числу 0 ставятся в соответствие все чётные числа, а числу 1 – все нечётные числа. Является ли это правило функцией?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо обратиться к определению функции. Функция — это правило, согласно которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие один и только один элемент другого множества (называемого областью значений).

В данном случае у нас есть правило, которое связывает числа из множества $X = \{0, 1\}$ (область определения) с целыми числами (область значений). Проанализируем это правило:

• Числу $0$ ставятся в соответствие все чётные числа. Это означает, что одному входному значению $x=0$ соответствует не одно, а бесконечное множество выходных значений: $...-4, -2, 0, 2, 4, ...$. Например, числу $0$ соответствуют и $2$, и $4$.
• Числу $1$ ставятся в соответствие все нечётные числа. Аналогично, одному входному значению $x=1$ соответствует бесконечное множество выходных значений: $...-3, -1, 1, 3, 5, ...$. Например, числу $1$ соответствуют и $3$, и $5$.

Таким образом, нарушается ключевое требование для функции — единственность соответствия. Для каждого элемента из области определения ($0$ и $1$) существует более одного соответствующего ему значения. Следовательно, данное правило не является функцией.

Ответ: нет, это правило не является функцией.

956. Придумайте функцию $f$, областью определения которой является множество натуральных чисел, а областью значений – три числа: $0$; $1$; $2$, то есть множество $\{0, 1, 2\}$. Найдите $f(7)$; $f(15)$; $f(101)$.

Придумывание функции f

Согласно условию, нам необходимо задать функцию $f$, которая определена для любого натурального числа $n$ (то есть для $n \in N = \{1, 2, 3, ...\}$) и принимает только три значения: 0, 1 или 2.

Самый простой способ сопоставить каждому натуральному числу одно из трех циклически повторяющихся значений — это использовать операцию нахождения остатка от деления. Поскольку нам нужны значения $\{0, 1, 2\}$, логично использовать деление на 3. Остаток от деления любого целого числа на 3 может быть только 0, 1 или 2.

Таким образом, мы можем определить нашу функцию следующим образом: $f(n)$ есть остаток от деления числа $n$ на 3. Математически это записывается как: $f(n) = n \pmod 3$

Эта функция полностью удовлетворяет условиям задачи. Она определена для всех натуральных чисел. Ее область значений состоит из чисел 0, 1 и 2, причем каждое из этих значений достигается. Например:

• $f(1) = 1 \pmod 3 = 1$
• $f(2) = 2 \pmod 3 = 2$
• $f(3) = 3 \pmod 3 = 0$
• $f(4) = 4 \pmod 3 = 1$

Ответ: В качестве искомой функции можно взять функцию, которая каждому натуральному числу $n$ ставит в соответствие остаток от его деления на 3, то есть $f(n) = n \pmod 3$.

Нахождение значений f(7), f(15), f(101)

Используя определенную выше функцию $f(n) = n \pmod 3$, вычислим значения для заданных аргументов.

f(7): Найдем остаток от деления 7 на 3. $7 = 3 \cdot 2 + 1$. Остаток равен 1. Следовательно, $f(7) = 1$.

f(15): Найдем остаток от деления 15 на 3. $15 = 3 \cdot 5 + 0$. Число 15 делится на 3 без остатка. Следовательно, $f(15) = 0$.

f(101): Найдем остаток от деления 101 на 3. $101 = 3 \cdot 33 + 2$. Остаток равен 2. Следовательно, $f(101) = 2$.

Ответ: $f(7) = 1$; $f(15) = 0$; $f(101) = 2$.

957. Рассмотрим правило, по которому каждому натуральному числу поставили в соответствие остаток при делении его на $7$. Является ли это правило функцией? В случае утвердительного ответа найдите область определения и область значений этой функции.

Является ли это правило функцией?
Да, данное правило является функцией. По определению, функция — это такое правило, по которому каждому элементу одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества (области значений).
В нашей задаче каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие остаток от деления этого числа на 7. Согласно теореме о делении с остатком, для любого целого числа $n$ и натурального числа $d=7$ существуют единственные целые числа $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток), такие, что $n = 7 \cdot q + r$, где $0 \le r < 7$.
Поскольку для каждого натурального числа $n$ существует ровно один, однозначно определенный остаток $r$, это правило удовлетворяет определению функции.
Ответ: Да, это правило является функцией.

Область определения функции
Область определения функции — это множество всех значений, которые может принимать её аргумент. По условию задачи, правило применяется «каждому натуральному числу». Множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$. Это множество всех целых положительных чисел.
$N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.
Следовательно, областью определения данной функции является множество всех натуральных чисел.
Ответ: Область определения функции — множество натуральных чисел $N$.

Область значений функции
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать сама функция. В данном случае — это множество всех возможных остатков при делении натурального числа на 7. Из теоремы о делении с остатком известно, что остаток $r$ при делении на 7 должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 7$. Таким образом, возможными значениями остатка являются целые числа из множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Покажем, что каждое из этих значений достигается:
- остаток 0 получается при делении числа 7 на 7 ($7 = 7 \cdot 1 + 0$);
- остаток 1 получается при делении числа 1 на 7 ($1 = 7 \cdot 0 + 1$);
- остаток 2 получается при делении числа 2 на 7 ($2 = 7 \cdot 0 + 2$);
- остаток 3 получается при делении числа 3 на 7 ($3 = 7 \cdot 0 + 3$);
- остаток 4 получается при делении числа 4 на 7 ($4 = 7 \cdot 0 + 4$);
- остаток 5 получается при делении числа 5 на 7 ($5 = 7 \cdot 0 + 5$);
- остаток 6 получается при делении числа 6 на 7 ($6 = 7 \cdot 0 + 6$).
Так как все возможные остатки от 0 до 6 могут быть получены, область значений функции — это множество целых чисел от 0 до 6.
Ответ: Область значений функции — множество $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.