Страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

965. В баке было 8 л топлива. Каждую минуту в бак вливается 4 л.

1) Запишите зависимость количества $y$ л топлива в баке от времени $x$, в течение которого топливо заливалось в бак.

2) Начертите график изменения $y$, придавая $x$ значения от 0 до 10.

3) Пользуясь графиком, определите:

а) сколько литров топлива будет в баке через 3 мин, через 5 мин;

б) через сколько минут в баке будет 40 л топлива.

4) Через сколько минут бак будет наполнен, если его ёмкость 80 л?

1) Начальное количество топлива в баке составляет 8 литров. Каждую минуту ($x$) в бак добавляется 4 литра топлива. Следовательно, количество добавленного топлива за $x$ минут равно $4x$ литров. Общее количество топлива ($y$) в баке в любой момент времени $x$ является суммой начального объёма и добавленного. Таким образом, формула зависимости выглядит следующим образом:

$y = 4x + 8$

Ответ: $y = 4x + 8$.

2) Зависимость $y = 4x + 8$ является линейной функцией, её график — прямая линия. Чтобы построить график для $x$ в диапазоне от 0 до 10, нам нужно найти координаты двух точек (начальной и конечной).

При $x = 0$ (начальный момент времени):
$y = 4 \cdot 0 + 8 = 8$.
Координаты первой точки: (0; 8).

При $x = 10$ (через 10 минут):
$y = 4 \cdot 10 + 8 = 40 + 8 = 48$.
Координаты второй точки: (10; 48).

Для построения графика необходимо начертить систему координат, где горизонтальная ось (ось абсцисс) — это время $x$ в минутах, а вертикальная ось (ось ординат) — это количество топлива $y$ в литрах. Затем нужно отметить точки (0; 8) и (10; 48) и соединить их отрезком прямой.

Ответ: График представляет собой отрезок прямой линии, который начинается в точке (0, 8) и заканчивается в точке (10, 48). Ось X представляет время в минутах, а ось Y — количество топлива в литрах.

3)

а) Чтобы найти количество топлива в определенный момент времени по графику, нужно найти значение времени на горизонтальной оси ($x$), подняться от него до пересечения с линией графика, а затем провести горизонтальную линию до вертикальной оси ($y$), чтобы считать значение объёма.

Количество топлива через 3 минуты ($x = 3$):
$y = 4 \cdot 3 + 8 = 12 + 8 = 20$ литров.

Количество топлива через 5 минут ($x = 5$):
$y = 4 \cdot 5 + 8 = 20 + 8 = 28$ литров.

Ответ: через 3 мин в баке будет 20 л топлива, через 5 мин — 28 л.

б) Чтобы найти, через какое время в баке будет определенное количество топлива, нужно найти это значение на вертикальной оси ($y$), провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем опустить вертикальную линию на горизонтальную ось ($x$), чтобы считать значение времени.

Найдем время $x$, когда в баке будет 40 л топлива ($y = 40$):
$40 = 4x + 8$
$4x = 40 - 8$
$4x = 32$
$x = \frac{32}{4} = 8$ минут.

Ответ: 40 л топлива будет в баке через 8 минут.

4) Чтобы определить, через сколько минут бак будет полностью наполнен, нужно подставить в формулу его полную ёмкость, то есть $y = 80$ л, и найти соответствующее время $x$.

$80 = 4x + 8$
$4x = 80 - 8$
$4x = 72$
$x = \frac{72}{4} = 18$ минут.

Ответ: бак будет наполнен через 18 минут.

966. На складе было 100 т угля. Ежедневно на склад привозили по 20 т угля.

1) Выразите формулой зависимость массы $m$ угля на складе от времени $t$.

2) Начертите график этой зависимости.

1) Выразите формулой зависимость массы m угля на складе от времени t.

Обозначим массу угля на складе (в тоннах) как $m$, а время (в днях) как $t$.

Согласно условию задачи, начальная масса угля на складе составляет 100 тонн. Это значение массы при $t=0$: $m(0) = 100$.

Каждый день масса угля увеличивается на 20 тонн. Это означает, что за $t$ дней на склад привезут $20 \cdot t$ тонн угля.

Общая масса угля $m$ на складе в любой день $t$ будет суммой начальной массы и массы угля, привезенного за $t$ дней. Таким образом, мы можем составить следующую формулу: $m = 100 + 20t$.

Эта формула выражает зависимость массы угля $m$ от времени $t$.

Ответ: $m = 100 + 20t$.

2) Начертите график этой зависимости.

Зависимость $m = 100 + 20t$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где $m$ выступает в роли $y$, $t$ — в роли $x$, коэффициент $k=20$, а свободный член $b=100$. Графиком такой функции является прямая линия.

Для построения графика прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Возьмем два значения времени $t$ и вычислим для них соответствующую массу $m$:

• При $t = 0$ (начальный момент):
  $m = 100 + 20 \cdot 0 = 100$.
  Получаем точку с координатами $(0; 100)$.
• При $t = 5$ (через 5 дней):
  $m = 100 + 20 \cdot 5 = 100 + 100 = 200$.
  Получаем точку с координатами $(5; 200)$.

Теперь построим систему координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) отложим время $t$ в днях, а по вертикальной оси (оси ординат) — массу $m$ в тоннах. Поскольку время не может быть отрицательным ($t \ge 0$), график будет представлять собой не прямую, а луч, начинающийся в точке $(0; 100)$.

График зависимости представлен ниже:

Ответ: График зависимости — луч, выходящий из точки с координатами $(0; 100)$ и проходящий, например, через точку $(5; 200)$.

967. Какой из данных графиков (рис. 31) иллюстрирует зависимость переменной $y$ от переменной $x$, приведённую ниже:

1) стоимость проезда в автобусе возрастает на 5 р. через каждые 10 км пути ($x$ км — длина пути, $y$ р. — стоимость проезда);

2) металлическую пружину растянули и отпустили ($x$ с — время, $y$ см — длина пружины);

3) цена клубники на рынке в течение мая — июня ($x$ дней — время, $y$ р. — цена)?

1) стоимость проезда в автобусе возрастает на 5 р. через каждые 10 км пути (x км — длина пути, y р. — стоимость проезда);

В данном случае стоимость проезда $y$ не меняется внутри каждого 10-километрового интервала, а затем скачком увеличивается на 5 рублей при переходе в следующий интервал. Например, если стоимость проезда до 10 км составляет $C$ рублей, то на дистанции от 10 км (не включая) до 20 км она будет $C+5$ рублей, от 20 км до 30 км — $C+10$ рублей и так далее. Такая зависимость называется кусочно-постоянной или ступенчатой. График этой функции будет выглядеть как серия горизонтальных отрезков ("ступенек"), каждая следующая из которых расположена выше предыдущей. Скачки происходят в точках $x = 10, 20, 30, \ldots$.

Ответ: График этой зависимости является возрастающей ступенчатой функцией.

2) металлическую пружину растянули и отпустили (x с — время, y см — длина пружины);

Когда растянутую пружину отпускают, она начинает совершать колебания около своего положения равновесия. Длина пружины $y$ будет периодически изменяться во времени $x$. В начальный момент ($x=0$) пружина максимально растянута, то есть ее длина $y$ имеет наибольшее значение. Затем пружина сжимается, ее длина уменьшается, достигает минимума, а потом снова увеличивается. В реальной физической системе всегда присутствуют силы трения и сопротивления, из-за которых механическая энергия колебаний постепенно рассеивается. Это приводит к тому, что амплитуда колебаний (максимальное отклонение длины от положения равновесия) со временем уменьшается. Этот процесс называется затухающими колебаниями.

Ответ: График этой зависимости представляет собой затухающую волну (похожую на косинусоиду), амплитуда которой уменьшается с течением времени.

3) цена клубники на рынке в течение мая — июня (x дней — время, y р. — цена)?

Эта зависимость описывает типичную рыночную ситуацию для сезонного товара. В начале сезона (май) предложение клубники ограничено, а спрос уже есть, поэтому цена $y$ находится на высоком уровне. По мере наступления пика сезона (июнь) урожай становится массовым, предложение на рынке резко возрастает, что приводит к снижению цены. Цена достигает своего минимального значения в разгар сезона. Ближе к концу июня предложение снова начинает сокращаться, что может вызвать некоторый рост цен, либо цена может стабилизироваться на низком уровне до конца сезона.

Ответ: График этой зависимости — кривая, которая начинается с высокого значения, затем снижается до некоторого минимума, а после этого может немного возрасти или оставаться на низком уровне.

968. Разложите на множители выражение:

1) $-$\frac{9}{64}$n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4$;

2) $20z^2 + 3xy - 15xz - 4yz$;

3) $0,027a^{12} + b^9$.

1) $-\frac{9}{64}n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4$

Первым шагом вынесем за скобки общий множитель. Все члены выражения содержат $n$ в степени не менее 4. Также для удобства вынесем знак минус.

$-\frac{9}{64}n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4 = -n^4(\frac{9}{64}n^2 + 3mn + 16m^2)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $\frac{9}{64}n^2 + 3mn + 16m^2$. Оно похоже на полный квадрат суммы, который раскладывается по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим предполагаемые $a$ и $b$:

Если $a^2 = \frac{9}{64}n^2$, то $a = \frac{3}{8}n$.

Если $b^2 = 16m^2$, то $b = 4m$.

Проверим, совпадает ли средний член выражения с удвоенным произведением $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (\frac{3}{8}n) \cdot (4m) = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{8}mn = 3mn$.

Удвоенное произведение совпадает, следовательно, выражение в скобках является полным квадратом суммы.

$\frac{9}{64}n^2 + 3mn + 16m^2 = (\frac{3}{8}n + 4m)^2$.

Подставляем полученный результат в исходное выражение:

$-n^4(\frac{3}{8}n + 4m)^2$.

Ответ: $-n^4(\frac{3}{8}n + 4m)^2$.

2) $20z^2 + 3xy - 15xz - 4yz$

Для разложения этого многочлена на множители применим метод группировки. Переставим члены так, чтобы можно было вынести общие множители из пар слагаемых. Сгруппируем первый член с третьим, а второй с четвертым.

$(20z^2 - 15xz) + (3xy - 4yz)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

Из первой группы $(20z^2 - 15xz)$ выносим $5z$: $5z(4z - 3x)$.

Из второй группы $(3xy - 4yz)$ выносим $y$: $y(3x - 4z)$.

Получаем выражение: $5z(4z - 3x) + y(3x - 4z)$.

Заметим, что выражения в скобках $(4z - 3x)$ и $(3x - 4z)$ отличаются только знаком. Вынесем $-1$ из второй скобки: $y(3x - 4z) = -y(-3x + 4z) = -y(4z - 3x)$.

Теперь выражение выглядит так:

$5z(4z - 3x) - y(4z - 3x)$

Теперь можно вынести за скобки общий двучлен $(4z - 3x)$:

$(4z - 3x)(5z - y)$.

Ответ: $(4z - 3x)(5z - y)$.

3) $0,027a^{12} + b^9$

Это выражение представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых можно представить в виде куба. Будем использовать формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба:

$0,027a^{12} = (0,3)^3 \cdot (a^4)^3 = (0,3a^4)^3$. Таким образом, $A = 0,3a^4$.

$b^9 = (b^3)^3$. Таким образом, $B = b^3$.

Теперь подставим $A$ и $B$ в формулу суммы кубов:

$(0,3a^4 + b^3)((0,3a^4)^2 - (0,3a^4)(b^3) + (b^3)^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(0,3a^4 + b^3)(0,09a^8 - 0,3a^4b^3 + b^6)$.

Ответ: $(0,3a^4 + b^3)(0,09a^8 - 0,3a^4b^3 + b^6)$.