Номер 968, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Связи между величинами. Функция. Глава 2. Функции - номер 968, страница 173.

Условие.

968. Разложите на множители выражение:

1) $-$\frac{9}{64}$n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4$;

2) $20z^2 + 3xy - 15xz - 4yz$;

3) $0,027a^{12} + b^9$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $-\frac{9}{64}n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4$

Первым шагом вынесем за скобки общий множитель. Все члены выражения содержат $n$ в степени не менее 4. Также для удобства вынесем знак минус.

$-\frac{9}{64}n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4 = -n^4(\frac{9}{64}n^2 + 3mn + 16m^2)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $\frac{9}{64}n^2 + 3mn + 16m^2$. Оно похоже на полный квадрат суммы, который раскладывается по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим предполагаемые $a$ и $b$:

Если $a^2 = \frac{9}{64}n^2$, то $a = \frac{3}{8}n$.

Если $b^2 = 16m^2$, то $b = 4m$.

Проверим, совпадает ли средний член выражения с удвоенным произведением $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (\frac{3}{8}n) \cdot (4m) = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{8}mn = 3mn$.

Удвоенное произведение совпадает, следовательно, выражение в скобках является полным квадратом суммы.

$\frac{9}{64}n^2 + 3mn + 16m^2 = (\frac{3}{8}n + 4m)^2$.

Подставляем полученный результат в исходное выражение:

$-n^4(\frac{3}{8}n + 4m)^2$.

Ответ: $-n^4(\frac{3}{8}n + 4m)^2$.

2) $20z^2 + 3xy - 15xz - 4yz$

Для разложения этого многочлена на множители применим метод группировки. Переставим члены так, чтобы можно было вынести общие множители из пар слагаемых. Сгруппируем первый член с третьим, а второй с четвертым.

$(20z^2 - 15xz) + (3xy - 4yz)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

Из первой группы $(20z^2 - 15xz)$ выносим $5z$: $5z(4z - 3x)$.

Из второй группы $(3xy - 4yz)$ выносим $y$: $y(3x - 4z)$.

Получаем выражение: $5z(4z - 3x) + y(3x - 4z)$.

Заметим, что выражения в скобках $(4z - 3x)$ и $(3x - 4z)$ отличаются только знаком. Вынесем $-1$ из второй скобки: $y(3x - 4z) = -y(-3x + 4z) = -y(4z - 3x)$.

Теперь выражение выглядит так:

$5z(4z - 3x) - y(4z - 3x)$

Теперь можно вынести за скобки общий двучлен $(4z - 3x)$:

$(4z - 3x)(5z - y)$.

Ответ: $(4z - 3x)(5z - y)$.

3) $0,027a^{12} + b^9$

Это выражение представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых можно представить в виде куба. Будем использовать формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба:

$0,027a^{12} = (0,3)^3 \cdot (a^4)^3 = (0,3a^4)^3$. Таким образом, $A = 0,3a^4$.

$b^9 = (b^3)^3$. Таким образом, $B = b^3$.

Теперь подставим $A$ и $B$ в формулу суммы кубов:

$(0,3a^4 + b^3)((0,3a^4)^2 - (0,3a^4)(b^3) + (b^3)^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(0,3a^4 + b^3)(0,09a^8 - 0,3a^4b^3 + b^6)$.

Ответ: $(0,3a^4 + b^3)(0,09a^8 - 0,3a^4b^3 + b^6)$.