Номер 1, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 23. Способы задания функции. Глава 2. Функции - номер 1, страница 177.

Условие.

1. Что надо указать, чтобы функция считалась заданной?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы функция считалась заданной, необходимо указать три ключевых элемента, которые полностью определяют эту зависимость. Формально, функция $f$ — это тройка $(X, Y, F)$, где $X$ — область определения, $Y$ — область прибытия, а $F$ — правило (график функции).

1. Область определения функции ($D(f)$ или $X$)

Это множество всех допустимых значений независимой переменной (аргумента), обычно обозначаемой как $x$. Для каждого элемента $x$ из этого множества функция должна быть определена, то есть ему должно быть сопоставлено некоторое значение $y$. Например, если функция задана формулой $y = \frac{1}{x-2}$, то ее область определения — все действительные числа, кроме $2$, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю. Это записывается как $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}, x \neq 2$.

2. Множество значений функции ($E(f)$ или $Y$)

Это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная (функция), обычно обозначаемая как $y$, когда аргумент $x$ пробегает всю область определения. Например, для функции $y = x^2$ с областью определения $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа), множество значений будет $E(f) = [0; +\infty)$, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Строго говоря, при задании функции указывают множество прибытия (кодомен) — множество, которому принадлежат все возможные значения функции. Множество значений ($E(f)$) является подмножеством множества прибытия. В школьном курсе математики эти понятия часто не разделяют и под областью значений понимают именно множество $E(f)$.

3. Правило соответствия (закон $f$)

Это правило, по которому каждому элементу $x$ из области определения $D(f)$ ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества прибытия. Это правило — самая суть функции. Оно может быть задано несколькими способами:

• Аналитический способ: с помощью математической формулы. Это самый распространенный способ. Например, $y = 2x - 5$ или $f(x) = \sin(x) + \sqrt{x}$.
• Графический способ: с помощью графика. График функции — это множество точек $(x, y)$ на координатной плоскости, где $x$ принадлежит области определения функции, а $y = f(x)$. Любая вертикальная прямая $x = c$ (где $c$ из области определения) должна пересекать график ровно в одной точке.
• Табличный способ: с помощью таблицы, в которой для каждого значения аргумента из конечного множества указывается соответствующее значение функции. Этот способ удобен, когда область определения дискретна и состоит из небольшого числа элементов.
• Словесный способ: с помощью словесного описания правила. Например: "каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие сумма его цифр" или "каждому $x$ ставится в соответствие его целая часть $[x]$".

На практике, особенно в школьных задачах, часто задают только правило соответствия в виде формулы (например, $y = \sqrt{x}$). В таких случаях по умолчанию считается, что область определения — это множество всех действительных чисел, для которых данное аналитическое выражение имеет смысл (это называется естественной областью определения), а множество прибытия — все действительные числа $\mathbb{R}$.

Ответ: Чтобы функция считалась заданной, необходимо указать:
1. Область определения функции (множество всех допустимых значений аргумента $x$).
2. Множество прибытия функции (множество, содержащее все возможные значения $y$).
3. Правило (закон), по которому каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие единственное значение из множества прибытия.