Номер 970, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Связи между величинами. Функция. Глава 2. Функции - номер 970, страница 174.

Условие.

970. Найдите такое наименьшее натуральное значение $a$, при котором выражение $x^2 - 4x + 2a$ принимает положительные значения при любом значении $x$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы выражение $x^2 - 4x + 2a$ принимало положительные значения при любом значении $x$, необходимо и достаточно, чтобы график квадратичной функции $y = x^2 - 4x + 2a$ полностью лежал выше оси абсцисс (оси Ox).

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x + 2a$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Парабола с ветвями вверх будет полностью лежать выше оси Ox, если у нее нет точек пересечения с этой осью. Это означает, что квадратное уравнение $x^2 - 4x + 2a = 0$ не должно иметь действительных корней.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант (D) отрицателен.

Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - 4x + 2a = 0$. Коэффициенты: $A=1$, $B=-4$, $C=2a$.

$D = B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a) = 16 - 8a$.

Составим и решим неравенство $D < 0$:$16 - 8a < 0$$16 < 8a$$a > \frac{16}{8}$$a > 2$.

По условию задачи, требуется найти наименьшее натуральное значение $a$. Натуральные числа — это $1, 2, 3, 4, \ldots$. Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству $a > 2$, это 3.

Ответ: 3.