Номер 2, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 23. Способы задания функции. Глава 2. Функции - номер 2, страница 177.

Условие.

2. Какие способы задания функции вы знаете?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Функция — это правило, по которому каждому элементу из одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный элемент из другого множества (области значений). Задать функцию — значит указать это правило. Существует несколько основных способов задания функции.

Аналитический способ

При аналитическом способе функция задается с помощью одной или нескольких математических формул. Эта формула устанавливает, какие вычислительные операции нужно произвести над независимой переменной (аргументом) $x$, чтобы получить соответствующее значение зависимой переменной $y$.

Например:

• Линейная функция: $y = 2x + 5$
• Квадратичная функция: $f(x) = x^2 - 4x + 1$
• Кусочно-заданная функция (модуль числа): $y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Этот способ является наиболее универсальным и мощным в математике, так как позволяет точно вычислять значения функции и применять к ней методы математического анализа (находить производные, интегралы, исследовать на экстремумы и т.д.).

Ответ: Аналитический способ — это задание функции с помощью математической формулы.

Табличный способ

При этом способе функция задается с помощью таблицы, в которой для каждого значения аргумента $x$ из некоторого конечного множества указывается соответствующее ему значение функции $y$.

Например, таблица значений для функции $y=x^3$ на отрезке $[-2, 2]$ с шагом 1:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	-8	-1	0	1	8

Этот способ часто используется на практике, например, при записи результатов наблюдений и экспериментов. Его недостаток заключается в том, что он задает функцию не полностью, а только для некоторых значений аргумента, и не дает информации о поведении функции между этими значениями.

Ответ: Табличный способ — это задание функции с помощью таблицы пар соответствующих значений аргумента и функции.

Графический способ

При графическом способе функция задается с помощью ее графика. Графиком функции $y=f(x)$ называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента $x$, а ординаты — соответствующим значениям функции $y$.

Этот способ очень нагляден. Он позволяет сразу получить представление об основных свойствах функции: ее возрастании и убывании, точках максимума и минимума, непрерывности, асимптотах. Однако, как правило, по графику можно найти лишь приближенные значения функции. Например, график параболы $y=x^2$ наглядно показывает, что функция убывает при $x<0$ и возрастает при $x>0$.

Ответ: Графический способ — это задание функции с помощью ее графика на координатной плоскости.

Словесный (описательный) способ

Этот способ состоит в том, что правило, по которому каждому значению аргумента $x$ ставится в соответствие значение функции $y$, описывается словами, без использования формул или графиков.

Примеры:

• Функция Дирихле: $D(x)$ равна 1, если $x$ — рациональное число, и 0, если $x$ — иррациональное число.
• Функция "целая часть числа": каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Обозначается $y = \lfloor x \rfloor$.
• Функция, которая каждому многоугольнику ставит в соответствие его площадь.

Словесный способ часто используется для введения новых функций или при описании зависимостей в гуманитарных и естественных науках.

Ответ: Словесный способ — это задание функции путем словесного описания правила соответствия.