Номер 972, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Связи между величинами. Функция. Глава 2. Функции - номер 972, страница 174.

Условие.

972. Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что $34x = 43y$. Докажите, что число $x+y$ составное.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По условию задачи даны натуральные числа $x$ и $y$, для которых выполняется равенство $34x = 43y$.

Рассмотрим коэффициенты 34 и 43. Разложим их на простые множители: $34 = 2 \times 17$, а 43 — простое число. Так как у них нет общих делителей, кроме 1, числа 34 и 43 являются взаимно простыми.

Из равенства $34x = 43y$ следует, что произведение $34x$ должно быть кратно 43. Поскольку числа 34 и 43 взаимно просты, то множитель $x$ должен быть кратен 43. Это означает, что $x$ можно представить в виде:

$x = 43k$, где $k$ — некоторое натуральное число (поскольку $x$ по условию является натуральным).

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение:

$34 \cdot (43k) = 43y$

Сократим обе части уравнения на 43:

$34k = y$

Таким образом, мы получили выражения для $x$ и $y$ через общую переменную $k$:

$x = 43k$

$y = 34k$

Теперь найдем сумму $x+y$:

$x + y = 43k + 34k$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:

$x + y = (43 + 34)k$

$x + y = 77k$

Составное число — это натуральное число больше 1, которое имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Поскольку $k$ — натуральное число, то $k \ge 1$.

Следовательно, сумма $x+y$ всегда является натуральным числом, большим 1 (минимальное значение при $k=1$ равно 77).

Число $x+y = 77k$ всегда делится на 77, а значит, и на его делители 7 и 11. Так как $x+y \ge 77$, то делители 7 и 11 всегда будут отличны от 1 и от самого числа $x+y$. Наличие таких делителей доказывает, что число $x+y$ является составным при любом натуральном $k$.

Ответ: Сумма $x+y$ представляется в виде $77k$, где $k$ — натуральное число. Поскольку $x+y = 7 \times 11 \times k$ и $x+y \ge 77$, число $x+y$ всегда имеет делители (например, 7 и 11), отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.