Страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

969. Общая протяжённость Сретенского, Петровского и Страстного бульваров, входящих в Бульварное кольцо Москвы, составляет 1210 м. Протяжённость Петровского бульвара составляет $ \frac{9}{11} $ протяжённости Страстного, а протяжённость Сретенского – в $ 2\frac{1}{7} $ раза меньше протяжённости Петровского. Какова протяжённость каждого из этих бульваров?

Для решения задачи введём следующие обозначения: $L_С$ — протяжённость Сретенского бульвара, $L_П$ — протяжённость Петровского бульвара, $L_{Ст}$ — протяжённость Страстного бульвара.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Общая протяжённость: $L_С + L_П + L_{Ст} = 1210$ м.
2. Протяжённость Петровского бульвара составляет $\frac{9}{11}$ от протяжённости Страстного: $L_П = \frac{9}{11} L_{Ст}$.
3. Протяжённость Сретенского бульвара в $2\frac{1}{7}$ раза меньше протяжённости Петровского. Это означает, что протяжённость Сретенского бульвара равна протяжённости Петровского, делённой на $2\frac{1}{7}$.
Переведём смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$.
Следовательно: $L_С = L_П \div \frac{15}{7} = L_П \cdot \frac{7}{15}$.

Теперь выразим все протяжённости через одну переменную, например, через $L_{Ст}$, чтобы решить уравнение.
Из пункта 2 мы знаем, что $L_П = \frac{9}{11} L_{Ст}$.
Подставим это в формулу для $L_С$:
$L_С = \frac{7}{15} L_П = \frac{7}{15} \cdot \left(\frac{9}{11} L_{Ст}\right) = \frac{7 \cdot 9}{15 \cdot 11} L_{Ст} = \frac{63}{165} L_{Ст}$. Сократим дробь: $L_С = \frac{21}{55} L_{Ст}$.

Теперь подставим все выраженные через $L_{Ст}$ переменные в первое уравнение:
$\frac{21}{55} L_{Ст} + \frac{9}{11} L_{Ст} + L_{Ст} = 1210$
Приведём дроби к общему знаменателю (55):
$\frac{21}{55} L_{Ст} + \frac{45}{55} L_{Ст} + \frac{55}{55} L_{Ст} = 1210$
Сложим коэффициенты:
$\frac{21 + 45 + 55}{55} L_{Ст} = 1210$
$\frac{121}{55} L_{Ст} = 1210$
Теперь найдём $L_{Ст}$:
$L_{Ст} = 1210 \div \frac{121}{55} = 1210 \cdot \frac{55}{121} = 10 \cdot 55 = 550$ м.

Мы нашли протяжённость Страстного бульвара. Теперь можем вычислить протяжённость остальных бульваров.

Протяжённость Сретенского бульвара
Для этого сначала нужно знать протяжённость Петровского бульвара: $L_П = \frac{9}{11} \cdot L_{Ст} = \frac{9}{11} \cdot 550 = 9 \cdot 50 = 450$ м.
Теперь вычисляем протяжённость Сретенского бульвара: $L_С = \frac{7}{15} \cdot L_П = \frac{7}{15} \cdot 450 = 7 \cdot 30 = 210$ м.
Ответ: 210 м.

Протяжённость Петровского бульвара
Протяжённость Петровского бульвара составляет: $L_П = \frac{9}{11} \cdot 550 = 450$ м.
Ответ: 450 м.

Протяжённость Страстного бульвара
Протяжённость Страстного бульвара была найдена при решении основного уравнения: $L_{Ст} = 550$ м.
Ответ: 550 м.

Проверка: $210 \text{ м} + 450 \text{ м} + 550 \text{ м} = 1210 \text{ м}$. Сумма длин совпадает с общей протяжённостью, указанной в условии.

970. Найдите такое наименьшее натуральное значение $a$, при котором выражение $x^2 - 4x + 2a$ принимает положительные значения при любом значении $x$.

Чтобы выражение $x^2 - 4x + 2a$ принимало положительные значения при любом значении $x$, необходимо и достаточно, чтобы график квадратичной функции $y = x^2 - 4x + 2a$ полностью лежал выше оси абсцисс (оси Ox).

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x + 2a$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Парабола с ветвями вверх будет полностью лежать выше оси Ox, если у нее нет точек пересечения с этой осью. Это означает, что квадратное уравнение $x^2 - 4x + 2a = 0$ не должно иметь действительных корней.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант (D) отрицателен.

Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - 4x + 2a = 0$. Коэффициенты: $A=1$, $B=-4$, $C=2a$.

$D = B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a) = 16 - 8a$.

Составим и решим неравенство $D < 0$:$16 - 8a < 0$$16 < 8a$$a > \frac{16}{8}$$a > 2$.

По условию задачи, требуется найти наименьшее натуральное значение $a$. Натуральные числа — это $1, 2, 3, 4, \ldots$. Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству $a > 2$, это 3.

Ответ: 3.

971. (Задача из «Теоретического и практического курса чистой математики» Е. Войтяховского¹⁾) Капитан на вопрос, сколько у него в команде людей, ответил, что $ \frac{2}{5} $ его команды в карауле, $ \frac{2}{7} $ – на работе, $ \frac{1}{4} $ – в лазарете и 27 человек в наличии. Вопрос: сколько человек было в его команде?

Для решения этой задачи обозначим общее количество человек в команде через переменную $x$.

Согласно условию, вся команда состоит из нескольких частей:

• $\frac{2}{5}$ команды находится в карауле, что составляет $\frac{2}{5}x$ человек.
• $\frac{2}{7}$ команды — на работе, что составляет $\frac{2}{7}x$ человек.
• $\frac{1}{4}$ команды — в лазарете, что составляет $\frac{1}{4}x$ человек.
• 27 человек — в наличии.

Сумма всех этих частей равна общему числу человек в команде.

Составим уравнение на основе этих данных:
$x = \frac{2}{5}x + \frac{2}{7}x + \frac{1}{4}x + 27$

Для решения уравнения перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть:
$x - \frac{2}{5}x - \frac{2}{7}x - \frac{1}{4}x = 27$

Вынесем $x$ за скобки:
$x \left(1 - \frac{2}{5} - \frac{2}{7} - \frac{1}{4}\right) = 27$

Теперь вычислим значение выражения в скобках. Для этого нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 5, 7 и 4 равно $5 \times 7 \times 4 = 140$.
$1 - \frac{2}{5} - \frac{2}{7} - \frac{1}{4} = \frac{140}{140} - \frac{2 \cdot 28}{140} - \frac{2 \cdot 20}{140} - \frac{1 \cdot 35}{140}$
$= \frac{140 - 56 - 40 - 35}{140} = \frac{140 - 131}{140} = \frac{9}{140}$

Мы выяснили, что 27 человек, которые находятся "в наличии", составляют $\frac{9}{140}$ от всей команды. Подставим это значение обратно в уравнение:
$x \cdot \frac{9}{140} = 27$

Теперь найдем $x$, разделив 27 на полученную дробь:
$x = 27 \div \frac{9}{140}$
$x = 27 \times \frac{140}{9}$
$x = \frac{27}{9} \times 140$
$x = 3 \times 140$
$x = 420$

Таким образом, общее число человек в команде капитана составляет 420.

Ответ: 420 человек.

972. Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что $34x = 43y$. Докажите, что число $x+y$ составное.

По условию задачи даны натуральные числа $x$ и $y$, для которых выполняется равенство $34x = 43y$.

Рассмотрим коэффициенты 34 и 43. Разложим их на простые множители: $34 = 2 \times 17$, а 43 — простое число. Так как у них нет общих делителей, кроме 1, числа 34 и 43 являются взаимно простыми.

Из равенства $34x = 43y$ следует, что произведение $34x$ должно быть кратно 43. Поскольку числа 34 и 43 взаимно просты, то множитель $x$ должен быть кратен 43. Это означает, что $x$ можно представить в виде:

$x = 43k$, где $k$ — некоторое натуральное число (поскольку $x$ по условию является натуральным).

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение:

$34 \cdot (43k) = 43y$

Сократим обе части уравнения на 43:

$34k = y$

Таким образом, мы получили выражения для $x$ и $y$ через общую переменную $k$:

$x = 43k$

$y = 34k$

Теперь найдем сумму $x+y$:

$x + y = 43k + 34k$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:

$x + y = (43 + 34)k$

$x + y = 77k$

Составное число — это натуральное число больше 1, которое имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Поскольку $k$ — натуральное число, то $k \ge 1$.

Следовательно, сумма $x+y$ всегда является натуральным числом, большим 1 (минимальное значение при $k=1$ равно 77).

Число $x+y = 77k$ всегда делится на 77, а значит, и на его делители 7 и 11. Так как $x+y \ge 77$, то делители 7 и 11 всегда будут отличны от 1 и от самого числа $x+y$. Наличие таких делителей доказывает, что число $x+y$ является составным при любом натуральном $k$.

Ответ: Сумма $x+y$ представляется в виде $77k$, где $k$ — натуральное число. Поскольку $x+y = 7 \times 11 \times k$ и $x+y \ge 77$, число $x+y$ всегда имеет делители (например, 7 и 11), отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.