Страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1010. Докажите, что в любом 60-значном числе, десятичная запись которого не содержит нулей, можно зачеркнуть несколько цифр так, что полученное в результате этого число будет делиться нацело на 1001.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом Дирихле и свойством делимости чисел, состоящих из повторяющихся цифр.

Исходное число является 60-значным, и его десятичная запись не содержит нулей. Это означает, что все 60 цифр числа принадлежат множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, в котором 9 различных элементов.

Рассмотрим 60 позиций в числе как "предметы", а 9 возможных цифр — как "ящики". Согласно обобщенному принципу Дирихле, если 60 предметов разместить в 9 ящиках, то найдется хотя бы один ящик, в котором окажется не менее $\lceil \frac{60}{9} \rceil = \lceil 6.66... \rceil = 7$ предметов. В контексте нашей задачи это означает, что хотя бы одна из цифр от 1 до 9 встречается в записи исходного числа как минимум 7 раз.

Пусть цифра $d$, где $d \in \{1, 2, ..., 9\}$, встречается в числе не менее 7 раз. Мы можем выбрать 6 из этих вхождений. Если мы вычеркнем все остальные 54 цифры исходного числа, оставив только эти шесть цифр $d$ на их местах, мы получим новое число $M$, которое имеет вид $\overline{dddddd}$.

Теперь покажем, что любое такое число $M$ делится на 1001. Для этого представим его в следующем виде:

$M = \overline{dddddd} = d \times 111111$

Число 111111 можно разложить на множители:

$111111 = 111000 + 111 = 111 \times 1000 + 111 = 111 \times (1000 + 1) = 111 \times 1001$

Таким образом, для числа $M$ получаем:

$M = d \times 111 \times 1001$

Поскольку $d$ и 111 — целые числа, из этого выражения следует, что число $M$ кратно 1001, то есть делится на 1001 нацело.

Так как для любого 60-значного числа без нулей мы можем гарантированно найти цифру, повторяющуюся достаточное количество раз для формирования числа вида $\overline{dddddd}$, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. В любом 60-значном числе, не содержащем нулей, по принципу Дирихле найдется цифра $d$, которая встречается не менее 7 раз. Выбрав 6 таких цифр и вычеркнув остальные, мы получим число $\overline{dddddd} = d \times 111 \times 1001$, которое делится на 1001.